概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。

解：(1) ABC A B C =⋃⋃ (2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。

解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。

3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。

解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。

4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。

解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。

5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。

解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。

6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

解：(1) 24210215C P C ==；(2) 1146210815C C P C ==。

7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。

解：1215310112C C P C ==。

8. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。

解：10.80.820.321P ⨯⨯==。

9. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A =“从甲袋中取出的是红球”，B = “从乙袋中取出的是红球”，则： 1312(),(),(|),(|),4425P A P A P B A P B A ==== 由全概率公式得：17()()(|)()(|)40P B P A P B A P A P B A =+=。

10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设321,,A A A 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B 表示买到合格品，则123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,P A P A P A P B A P B A P B A ====== 由全概率公式得31()()(|)0.895iii P B P A P B A ===∑；(2) 1111()()(|)0.47595(|)()()0.895179P A B P A P B A P A B P B P B ====。

二．一维随机变量及其数字特征1. 已知X 的概率密度函数1,02()0,kx x f x else+<<⎧=⎨⎩，求1,,2k P X EX ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭。

解：201()(1)221,2f x dx kx dx k k +∞-∞=+=+=⇒=-⎰⎰21211912216P X x dx ⎧⎫⎛⎫>=-+=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰，2012123EX x x dx ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰。

2. 设)1.0,3(~B X ，求{}2,{1}P X P X =≥。

解：2233{2}(0.1)(0.9)0.027,{1}1{0}10.90.271P X C P X P X ===≥=-==-=。

3. 设三次独立随机试验中事件A 出现的概率相同，已知事件A 至少出现一次的概率为6437，求A 在一次试验中出现的概率p 。

解：三次试验中A 出现的次数),3(~p B X ，由题意：{}416437)1(1)1(101}1{33003=⇒=--=--==-=≥p p p p C X P X P 。

4. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,x f x x else ⎧>⎪=⎨⎪⎩，(1) 求{1500}P X >；(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。

解：(1) 2150010002{1500}3P X dx x +∞>==⎰； (2) 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y ，则2~5,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故54121232{2}1{0}{1}15333243P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5. 设~(,), 1.6, 1.28,X B n p EX DX ==求,n p 。

解： 1.6,(1) 1.288,0.2EX np DX np p n p ===-=⇒==。

6. 设~(2)X π，求2{2},(23)P X E X X ≥+-。

解：2{2}13P X e -≥=-，()222(23)()232342437E X X E X EX EX DX EX +-=+-=++-=++-=。

7. 设]6,1[~-U X ，求{}24≤<-X P 。

解：1,16()70,x f x else⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，{}73710)(24211424=+==≤<-⎰⎰⎰----dx dx dx x f X P 。

8. 设X 服从)5,1(-上的均匀分布，求方程210t Xt ++=有实根的概率。

解：1,15()60,x f x else⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，52211{0}{40}62P P X dx ∆≥=-≥==⎰。

9. 设~[1,3]X U ，求1,,EX DX E X ⎛⎫⎪⎝⎭。

解：2311,13(31)111112,,(),ln 32123220,x EX DX f x E dx X x else⎧≤≤-⎪⎛⎫======⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎰。

10. 设某机器生产的螺丝长度~(10.05,0.0036)X N 。

规定长度在范围12.005.10±内为合格，求螺丝不合格的概率。

解：螺丝合格的概率为{}9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.005.1012.005.10=-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=+<<-X P X P 故螺丝不合格的概率为0456.09544.01=-。

11. 设)4,0(~N X ，30002+-=X Y ，求EY 、DY 及Y 的分布。

解：230003000,416,~(3000,16)EY EX DY DX Y N =-+===。

12. 设X 与Y 独立，且),1,1(~N X ),3,1(~N Y 求(2),(2)E X Y D X Y --。

解：(2)21,(2)47E X Y EX EY D X Y DX DY -=-=-=+=。

13. 设1~(4),~4,,0.6,2XY X Y B πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭求(32)D X Y -。

解：(32)941225.6XY D X Y DX DY ρ-=+-=。

14. 设]2,1[~-U X ，求X Y =的概率密度函数。

解：{}}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= (1) 当0<y 时，0)(=y F Y ；(2) 当10≤≤y 时，y dx y F yy Y 3231)(==⎰-； (3) 当21≤<y 时，31310)(11+=+=⎰⎰---y dx dx y F y y Y ； (4) 当2>y 时，1)(=y F Y ；故0,2,013()1,1231,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤≤⎪=⎨+⎪<≤⎪⎪>⎩，2,0131()(),1230,Y Y y f y F y y else⎧≤≤⎪⎪⎪'==<≤⎨⎪⎪⎪⎩。

三．二维随机变量及其数字特征1. 已知),(Y X 的联合分布律为：(1) 求a ；(2) 求{}0,1,{1|5}P X Y P Y X >≤==； (3) 求Y X ,的边缘分布律； (4) 求XY ρ；(5) 判断,X Y 是否独立。

解：(1) 0.1a =; (2) 0.3,0.2；(3) :0.5,0.5;:0.3,0.5,0.2X Y ；(4) 0,0.6,()0cov(,)0,0XY EX EY E XY X Y ρ===⇒==； (5)0.10.40.20.1≠，不独立。

2. 已知),(Y X 的联合分布律为：且X 与Y 相互独立，求： (1) b a ,的值； (2) }0{=XY P ； (3) ,X Y 的边缘分布律； (4) ,,,EX EY DX DY ； (5) Z XY =的分布律。

解：(1) 111296,1118993a ab b ==⇒==;(2) 45{0}1{0}199P XY P XY ==-≠=-=； (3) 11112:,,;:,63233X Y ； (4) 22222251353222,,(),,,()6636339EX EX DX EX EX EY EY DY EY EY ===-====-=；(5) 151{1},{0},{2}993P Z P Z P Z =-=====。

3. 已知),(Y X 的概率密度函数为(),02,01(,)0,c x y x y f x y else+≤≤≤≤⎧=⎨⎩，求：(1) 常数c ；(2) 关于变量X 的边缘概率密度函数)(x f X ； (3) )(Y X E +。

解：(1)21200011(,)()23123f x y dxdy dx c x y dy c x dx c c c c +∞+∞-∞-∞⎛⎫=+=+=+==⇒= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 10111(),02()(,)3320,X x y dy x x f x f x y dy else+∞-∞⎧⎛⎫+=+<<⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪⎩⎰⎰；(3) 916)(31),()()(1022=+=+=+⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy y x dx dxdy y x f y x Y X E 。