高一数学竞赛试题答案 第1页（共8页）2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ） A ．.72B ．.72-C ．3D ．0.3-解:求出的平均值-实际平均值.725015015-=÷-=）（,选B ． 2．设集合12{|log (1)2}A x x =+>-，2{|21}x x B x -=<，则AB 等于（ ▲ ）A ．{|0,13}x x x <<<或B ．{|3}x x >C ．{|10,13}x x x -<<<<或D ．{|01}x x <<解：可得{|13}A x x =-<<，{|0,1}B x x x =<>或，所以A B {|10,13}x x x =-<<<<或，选C ．3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（ ▲ ） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈D ．(1),k k k Z απβ=+-∈解:由于sin sin αβ=,α与β的终边位置相同或关于y 轴对称,所以2,k k Z απβ=+∈或(21),k k Z απβ=+-∈,合并得(1),k k k Z απβ=+-∈．选D ．4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ▲ ）A ．21log sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．21log sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C．y =D ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：将选择支中各函数用区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦逐一检验知，只有C 中函数满足要求．选C ．5．若()()()()sin50tan50sin50tan50yxxy--︒︒-︒≤-︒则（ ▲ ）A ．0x y +≥B ．0x y -≥C ．0x y +≤D ．0x y -≤解：因为0sin501<︒<，tan501︒>，可知函数()()()sin 50tan 50ttf t =︒-︒单调递减，已高一数学竞赛试题答案 第2页（共8页）知不等式即()()f x f y ≤-，所以x y ≥-，选A ．6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：()0ln |1|3f x x x =⇔-=-，所以()f x 的零点 个数即函数ln |1|y x =-与函数3y x =-的交点的个数，作图可知有3个交点，选D ． 7．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，又有点C ，满足52AC =，则ABC ∠ 的取值范围为（ ▲ ） A ．06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ． 03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6解：52AC =，点C 在以点A 为圆心，52为半 径的圆周上．可得5AB =，如图可知，当 线BC 与圆周相切时，ABC ∠有最大值为6π，当A B C ，，三点共线时ABC ∠ABC ∠的取值范围为06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．选A ．8．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ▲ ）A ．19B ．29 C ．18D ．14解：由5AB ≤与ABC 构成三角形及k Z ∈知{}4,3,2,1,0,1,3,4k ∈----，可得(2,0)BC k =-． AC 与AB 垂直，则2k =-；若AC 与BC 垂直，则2k =（舍去）；若BC 与AB 垂直0k =，或2k =（舍去）；综上知，满足要求的k 有２个，所求概率为14．故选 D ．高一数学竞赛试题答案 第3页（共8页）9．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（ ▲ ）A ．1B ． 1-C ．34-D ．0解1：22(22)(21)0x y x y S ++++-=，由()()22224210y y S ∆=+-+-≥得22S y y ≥-()2111y =--≥-．当且仅当1,2y x ==-时，min 1S =-．选B ．解2：222221S x xy y x =++++2222(1)(1)2x y x y y y =+++++-()()221111x y y =+++--≥-．当且仅当1,2y x ==-时，min 1S =-．选B ．10．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．解1：设0Q a （，），()112x A x ，，()222x B x ，，因为QA AB =，所以212x x a =-，21222x x =⨯，得121,2x a x a =+=+．即对于x 轴上任意0Q a （，）点，总有112a A a ++（，），222a B a ++（，）满足题设要求，故选B ．解2：（动态想象）：任取x 轴上Q 点，将直线l 由x 轴位置开始绕Q 点逆时针旋转2π，l 与函数2x y =的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点,A B （由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在||||QA AB -由正到负的过程中必将经历零点．当||||0QA AB -=时，即有QA AB =，所以x 轴上所有的点都是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 ▲ ．解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为38．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ ．解：()22222113579553S =++++=． 13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ▲ ．（其中[]x 表示不超过实数x 的高一数学竞赛试题答案 第4页（共8页）最大整数）解：1sin 1x -≤≤，所以[]sin x 的所有可能取值为1,0,1-，从而()f x 值域为1,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭．14．已知定义域为R 的函数()y f x =对任意x R ∈都满足条件4f x f x -（）+（）=0与22f x f x +--（）（）=0，则对函数()y f x =，下列结论中必定正确的是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号） ①()y f x =是奇函数； ②()y f x =是偶函数； ③()y f x =是周期函数； ④()y f x =的图象是轴对称的．解：由22f x f x +--（）（）=0知()f x 有周期4T =，于是4()f x f x f x =--=--（）（），知()f x 为奇函数，填①③．15．若n 为整数，关于x 的方程2011(2011)()10x x n --+=有整数根，则n = ▲ ．解：设0x x =为方程的整数根，则201100(2011)()1x x n --=-，必有00120111x n x -=⎧⎨-=-⎩或00120111x n x -=-⎧⎨-=⎩得2009n =或2013n =． 16．()y f x =是定义域为R 的函数，(1)5g x f x f x =++-（）（），若函数y g x =（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ▲ ．解：g x g x =（4-）（），y g x =（）有对称轴2x =，故4个零点和为8． 17．求值：sin6sin78sin222sin294︒+︒+︒+︒= ▲ ．解1：如图，构造边长为1的正五边形ABCDE ，使得(cos6,sin 6)AB =︒︒，则依次可得(cos78,sin 78)BC =︒︒， (cos150,sin150)CD =︒︒，(cos 222,sin 222)DE =︒︒， (cos 294,sin 294)EA =︒︒，由于0AB BC CD DE EA ++++=，所以sin6sin78sin150sin222sin2940︒+︒+︒+︒+︒=， 从而1sin6sin78sin 222sin 294sin1502︒+︒+︒+︒=-︒=-． 解2：原式()()sin 6sin 294sin 78sin 222=︒+︒+︒+︒2sin150cos1442sin150cos72=︒︒+︒︒()2sin150cos144cos72=︒︒+︒2cos108cos36=︒︒高一数学竞赛试题答案 第5页（共8页）2sin18cos36=-︒︒sin36cos36cos18︒=-⋅︒︒sin7212cos182︒=-=-︒．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期和()f x 的值域；⑵若0x x =002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0(2)f x 的值．解：⑴2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 222x x x x x x ⎫-=+++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12cos22x x =-+12sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………..4分所以()f x 的最小正周期T π=；……………………………..……….…..5分由1sin 216x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，得()f x 的值域为35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………………..7分⑵1()2sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由题设知0()0f x =01sin 264x π⎛⎫⇒-=- ⎪⎝⎭，….8分由005022666x x ππππ≤≤⇒-≤-≤，结合0sin 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭知02066x ππ-≤-<，可得0cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭…………………………………………………..10分00sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00sin 2cos cos 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1142=-，………………………...………..12分 00cos 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1142=+⨯=……………………………..………..14分高一数学竞赛试题答案 第6页（共8页）00000sin 4sin 2cos 2cos 2sin 2666x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+14⎛⎫- ⎪⎝⎭=001(2)2sin 462f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭122=．……….……..16分 19．（本题满分17分）设函数2()3f x x bx =+-，对于给定的实数b ，()f x 在区间[]2,2b b -+上有最大值()M b 和最小值()m b ，记()()()g b M b m b =-． ⑴求()g b 的解析式；⑵问b 为何值时，()g b 有最小值？并求出()g b 的最小值．解：⑴22()324b b f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，抛物线开口向上，其对称轴方程为2b x =-，下面就对称轴与区间[]2,2b b -+端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分①当403b ≤≤时，222b b b -≤-≤+且(2)(2)22b b b b ⎛⎫+--≥--- ⎪⎝⎭，此时2()(2)261M b f b b b =+=++，2()34b m b =--．29()644g b b b =++．…3分②当403b -≤<时，222b b b -≤-≤+且(2)(2)22b b b b ⎛⎫+--≤--- ⎪⎝⎭，此时2()(2)261M b f b b b =-=-+，2()34b m b =--．29()644g b b b =-+．…5分③当43b >时，22bb -<-，()f x 在区间[]2,2b b -+上递增， 此时2()(2)261M b f b b b =+=++，2()(2)261m b f b b b =-=-+．()12g b b =．…7分④当43b <-时，22bb ->+，()f x 在区间[]2,2b b -+上递减，此时2()(2)261M b f b b b =-=-+，2()(2)261m b f b b b =+=++．()12g b b =-．…9分高一数学竞赛试题答案 第7页（共8页）综上所得22412, ; 39464, 0;43()9464, 0; 43412, .3b b b b b g b b b b b b ⎧-<-⎪⎪⎪-+-≤<⎪=⎨⎪++≤≤⎪⎪⎪>⎩………………………………………………10分⑵当43b <-时， 4()12163g b b g ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭；…………………………………………11分当403b -≤<时， 29()644g b b b =-+递减，()(0)4g b g >=；…………..….……13分当403b ≤≤时， 29()644g b b b =++递增，()(0)4g b g ≥=；…………....………15分 当43b >时， 4()12163g b b g ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭．……………………………………..………16分 综上所述，当0b =时，[]min ()4g b =．…………..…………………………………17分20.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ；②对任意实数m , 当x R +∈时，有()()m f x mf x =． ⑴求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； ⑵证明：()f x 在正实数集上单调递减；⑶若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．⑴证明：,x y 均为正数，且01a <<，根据指数函数性质可知，总有实数,m n 使得n m a y a x ==,，于是()()()()()n m a f n m a f a a f xy f n m n m +=+===+，..…2分又()()()()()()m n f x f y f a f a mf a nf a m n +=+=+=+， ∴)()()(y f x f xy f +=..5分 ⑵证明：任设2121,,x x R x x >∈+，可令()121>=t t x x ，(0)t a αα=<．…………….7分则由⑴知()()()()()()()222221x f t f x f x f t x f x f x f -+=-=-()()()0f t f a f a ααα====<，………………………………………………………..9分即()()12f x f x <．∴()f x 在正实数集上单调递减；..……………………………..10分 ⑶解：令log (4)a x t -=，原不等式化为()()2283f t f t +-≤，其中0t >．高一数学竞赛试题答案 第8页（共8页）1()()()()f x f y f x f y --=+x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()1(01)f a a =<<，不等式可进一步化为()2328t f f a t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，……………………….……..12分又由于单调递减，2328t a t+∴≥对于0t >恒成立．……………………..13分而222188t t ⎛+ =+≥ ⎝⎭………………….……….…..15分且当t =时2min 28t t ⎛⎫+=⎪⎝⎭．……………………………………..16分3a ∴≤01a <<，终得0a <<．…………………………..18分。