r2 R2 2Rr cos b r2 R2 2Rr cos b 记为t
则 t 2 2(r 2 R2 ) 2 (r 2 R2 )2 4R2r2 cos2 b 2(r2 R2 ) 2 (r2 R2 )2 52
t 2 2(r2 R2 ) 2 (r2 R2 )2 4R2r 2 cos2 b 2(r 2 R2 ) 2 (r 2 R2 )2 4R2r2 4R2 16
62
2w
p1
pp
f (x) sin(2x ) ，所以单调增区间为 ( kp, kp), k Z ；
62
3
6
p1 （2）由题意可得 sin(2a ) ，所以
63
7
3

7
sin( 4 ) sin( 2(2 )) cos(2(2 ))
f (3) 2
1 sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x
4、因为
sin x sin 2x cos x cos 2x max cos x , cos 3x 1
2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案
1、80． C 3,5, 7,9,11,13,15,17
2018.4
8 2、 （极化恒等式或建系）．
9
1 1 3、由 f (x 1) f (x 4) 1得周期T 10 , 所以 f (2018) f (8) ．
4
2
3 a 1；
2
a 1
a 1
a 1
③ 当 1 a 1 时 ， 有 2 a 2 ， 此 时 g(x) 在 (2, ) 递 增 ，
2
2
2
a 1 a 1
a 1
a 1
a2 6a 7
( , ) 递 减 ， ( , 2) 递 增 ， 因 为 f ( ) f (2)
所以 cos 3x 1或 cos x 1．若 cos 3x 1，则 sin 3x 0 ，从而 cos x 1；若 cos x 1， 得 x kx, k Z ，经检验满足条件．
1 5、由题意可得 f (x) x a x 无解，不然 f2018 (x) x 也有解，所以 a 4 ． 6、由 2 cos2 q 1 1可得 a 0, b 1, c 1 ，所以 f (x) x 2x 1 3x 1 2 （几
2
2
4
互不相同的解.
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 7 页 共 7 页
x0 x02
方法 2：由题意可得 f (0) c 1, f (1) a b c 1, 0 b 1, b2 4ac 0 ，消去 2a
a, c 有 b2 4b 0 ，解得 b 5 ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 1 页 共 1 页



a b 4 ，当且仅当 a 与 b 同向，且 a b 2 时等号成立.
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 6 页 共 6 页
15、（1） a 0 ；
1 （2）即存在实数 m ,使得关于 x 方程 xf (x) m 在 [2, 2] 上有 6 个互不相同的解，设
何意义易得）．
7、 由不等式 x 1x x 得
6x 110x 115x 1 [6x][10x][15x] 30x 6x 10x 15x
1 即 0 x 3 ，再分段讨论可得最小解为 ．
5
k
kkk
方法 2:设 x m , m, k Z ,且k [0, 29] , 则原方程转化为[ ][ ][ ] k m ，最
x 1
11、（1） b 1， f (x) loga
f (x) 的定义域为 (,1) (1,) ；
x 1
（2）假设存在实数 a ，使得 f (x) 的定义域为[m, n] ，值域为[1 loga n,1 loga m] ，
由 m n ，及1 loga n 1 loga m ，得 0 a 1，
22
2
a 1
a 1
a2 6a 7
减， ( , 2) 递增，因为 f ( ) f (2)
0 ， f (2) f (a) ，所以要使
2
2
4
1
1
得 g(x) m 在 [2, 2] 上 有 6 个 互 不 相 同 的 解 ， 只 需 f (a) f (2) ， 解 得
30
532
小正解为 m 0, k 6 ．
1 8、[sin1, 2 cos ] （周期为 p ，所以只需考虑 x [0, p] 上的值域，去绝对值后和差化积）
2
9、 7 画图
10、因为 a,b, c 是整数，所以 f (0) c 1, f (1) a b c 1，且必存在 x0 (0,1) ，使得

2 2
16 a b
16 2a b

（2）由 a b 4 平方得：a b

，所以 a b 4 ，当且仅当22来自
a b 4 ，且 a 与 b 同向时等号成立，即当且仅当 a 与 b 同向，且 a b 2 时等号成
4
4
时等号成立.
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 5 页 共 5 页


方法 4：由已知条件易得：要使 ab 达到最大，令 a 2 ，由图示可知，要使



2 b 3,3 a b 4 同时满足，则 b 在 a 方向上的投影长度的最大值为 2 ，所以
22
2
2
a 1
1
减，(a, 2) 递增，此时 f ( ) f (2) ，所以要使得 g(x) m 在[2, 2] 上有 6 个互不相同
2
4
1
3
的解，只需 f (2) f (a) ，解得1 a ；
2
2
3
3
1
故当 a 且 a 0 时，存在实数 m ,使得关于 x 方程 xf (x) m 在[2, 2] 上有 6 个
4
g(x) xf (x) xx22(a(a11))xx,,xxaa ，
1 ①当 a 2或a 2 时， g(x) m 在[2, 2] 上不可能有 6 个互不相同的解；
4
a 1 a 1
a 1
②当2 a 1时，有2 a 2 ，此时 g(x) 在 (2, a) 递增，(a, ) 递

2a 0
∴ 存 在 实 数 a (0,3 2 2) ， 使 得 f (x) 的 定 义 域 为 [m, n] ， 值 域 为
[1 loga n,1 loga m] ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页
p1
2p
12、（1） f (x) sin(2wx ) ，而周期T p ，所以 w 1，即
故16 t2 52 ，即 4 t 2 13 ．


方法 2：如图 OB b,OA a ，即求 2(OC CB) 的最值，当 b, a 定

a 的情况下，C 的轨迹是以 O, B 为焦点椭圆，CD ，考虑离心
2
A C
O
D
B
率 e ，再让 b, a 动，易得 OC CB [2, 13]．
∴ f (m) 1 loga m, f (n) 1 loga n ， ∴ m, n 是方程 f (x) 1 loga x 的两个根，
化简得 ax2 (a 1)x 1 0 在 (1,) 上有两不同解，
设 g(x) ax2 (a 1)x 1，则ga(1) 1 01，解得 0 a 3 2 2 ．
f (x0 ) ax02 bx0 c 0 ，消去 a, c 得
0 ax02 bx0 c (1 b c)x02 bx0 c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )
1
故b
4 ，即 b 5 ．
2
f ( y) f (y) 0 ，所以 f (p y) f ( y) 0 ，即 f (x) 的周期为 2p ．
p 又当 x (0, ) 时， f (x) f (p x) 0 ，故 f (x) 0 的根为 x kp ，
2
x 5x
x
5x
由 f (3x) f (2x) 2 f ( ) cos 0 得 f ( ) 0或 cos 0 ，
6
2
6
69
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 3 页 共 3 页
13、（1）令 x y 0 得 f (0) 0 ；
p
p
p
p
（ 2 ） 令 x 有 f ( y) f ( y) ， 即 f (x) 关 于 x 对 称 ， 令 x 0 有
2
2
2
22
2
2
p +2kp
所以 x 2kp 或
,k Z ．
5
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 4 页 共 4 页


14、（1）设 a r, 0,b R cos , R sin ,其中1 r 2, 2 R 3 , 则