实验6 参数估计一、实验目的：1. 掌握矩法估计与极大似然估计的求法；2. 学会利用R 软件完成一个和两个正态总体的区间估计；3. 学会利用R 软件完成非正态总体的区间估计；4. 学会利用R 软件进行单侧置信区间估计。
二、实验内容：练习： 要求：①完成练习并粘贴运行截图到文档相应位置(截图方法见下)，并将所有自己输入文字的字体颜色设为红色（包括后面的思考及小结），②回答思考题，③简要书写实验小结。
④修改本文档名为“本人完整学号姓名1”，其中1表示第1次实验，以后更改为2,3,...。
如文件名为“1305543109张立1”，表示学号为1305543109的张立同学的第1次实验，注意文件名中没有空格及任何其它字符。
最后连同数据文件、源程序文件等（如果有的话，本次实验没有），一起压缩打包发给课代表，压缩包的文件名同上。
截图方法：法1：调整需要截图的窗口至合适的大小，并使该窗口为当前激活窗口（即该窗口在屏幕最前方），按住键盘Alt 键（空格键两侧各有一个）不放，再按键盘右上角的截图键（通常印有“印屏幕”或“Pr Scrn ”等字符），即完成截图。
再粘贴到word 文档的相应位置即可。
法2：利用QQ 输入法的截屏工具。
点击QQ 输入法工具条最右边的“扳手”图标，选择其中的“截屏”工具。
）1. 自行完成教材P163页开始的4.1.3-4.3节中的例题。
2. （习题4.1）设总体的分布密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,10)1();(其他x x x f αααX 1，X 2，…，X n 为其样本，求参数α 的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα。
现测得样本观测值为0.1, 0.2, 0.9, 0.8, 0.7, 0.7求参数 α 的估计值。
解：先求参数α 的矩估计量1ˆα。
由于只有一个参数，因此只需要考虑E(X )=X 。
而由E(X )的定义有：E(X )=21|21)1()(1021++=++=+⋅=⋅++∞∞-⎰⎰αααααααx dx x x dx x f x 因此X =++21αα，解得211ˆ1--=Xα。
以下请根据上式完成R 程序，计算出参数α 的矩估计量1ˆα的值。
源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图） x<-c(0.1, 0.2, 0.9, 0.8, 0.7, 0.7) >(2*mean(x)-1)/(1-mean(x)) [1] 0.3076923下面再求参数α 的极大似然估计量2ˆα。
只需要考虑x ∈(0, 1)部分。
依题意， 此分布的似然函数为 L (α; x )=∏∏==+=ni inn i ix x f 11)()1();(ααα相应的对数似然函数为 ln L (α; x )=n ln(α +1)+ α ln∏=ni ix1令 ++=∂∂1);(ln αααnx L ln ∏=ni i x 1=0解此似然方程得到1ln 1--=∏=ni ix n α，或写为1ln 1--=∑=ni ixnα。
容易验证0ln 22<∂∂αL，从而α 使得L 达到极大，即参数α 的极大似然估计量un 1ln ˆ12--=∑=ni iXnα。
以下请根据上式完成R 程序，计算出参数α 的极大似然估计量2ˆα的值。
源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图） >f<-function(a) 6/(a+1)+sum(log(x)) >uniroot(f,c(0,1)) $root[1] 0.211182 $f.root[1] -3.844668e-05 $iter [1] 5 $init.it [1] NA $estim.prec[1] 6.103516e-053. （习题4.2）设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的提示：①根据教材P168例4.7知，指数分布中参数 λ 的极大似然估计是n /∑=ni iX1。
②利用rep()函数。
解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(rep(5,365),rep(15,245),rep(25,150),rep(35,100),rep(45,70),rep(55,45),rep(65,25)) >1000/sum(x) [1] 0.054. （习题4.3）为检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验 每升水中大肠杆菌的个数（假设一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布），其化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解：此题实际就是求泊松分布中参数 λ 的极大似然估计。
泊松分布的分布律为 P {X =k }=!k e k λλ-, k =0,1,2,…, λ > 0设x 1，x 2，…，x n 为其样本X 1，X 2，…，X n 的一组观测值。
于是此分布的似然函数为 L (λ; x )= L (λ; x 1，…，x n )=λλλλn n x ni i x e x x x e ni ii-=-∑==∏!!!111相应的对数似然函数为 ln L (λ; x )= -n λ+∑=ni ix1ln λ-∑=ni ix 1)!ln(令∑=++-=∂∂ni i x n x L 11);(ln λαλ=0 解此似然方程得到x =λ容易验证0ln 22<∂∂λL ，从而λ 使得L 达到极大，即参数λ 的极大似然估计量X =λˆ。
以下请据此完成R 程序，计算出参数λ 的极大似然估计量λˆ的值。
同上题，也需要利用rep()函数。
源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(rep(0,17),rep(1,20),rep(2,10),rep(3,2),rep(4,1),rep(5,0),rep(6,0))>mean(x)[1] 15.（习题4.4）利用R软件中的nlm()函数求解无约束优化问题min f(x)=(-13+x1+((5-x2)x2-2)x2)2+(-29+x1+((x2+1)x2-14)x2)2,取初始点x(0)=(0.5, -2)T。
提示：参考教材P173公式（4.13）对应的例题。
解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）obj<-function(x){f<-c(-13+x[1]+((5-x[2])*x[2]-2)* x[2],-29+ x[1]+(( x[2]+1)* x[2]-14) *x[2])sum(f^2)}> source("Rosenbrouk.R")> x0<-c(0.5, -2)> nlm(obj,x0)$minimum[1] 48.98425$estimate[1] 11.4127791 -0.8968052$gradient[1] 1.413268e-08 -1.462297e-07$code[1] 1$iterations[1] 16结论：$minimum是函数的最目标值，即f*=48.98425，$estimate是最优点的估计值，即x*=( 11.4127791, -0.8968052)T; $gradient是在最优点处（估计值）目标函数梯度值，即f*(1.413268e-08, -1.462297e-07)T; $code是指标，这里是1，表示迭代成功；$iterations 是迭代次数，这里是16，表示迭代了16次迭代。
6.（习题4.5）正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅中毒患者的脉搏数(次/min)如下：54 67 68 78 70 66 67 70 65 69已知人的脉搏次数服从正态分布，试计算这10名患者平均脉搏次数的点估计和95%的区间估计。
并作单侧区间估计，试分析这10患者的平均脉搏次数是否低于正常人的平均脉搏次数。
提示：此题是一个正态总体的估计问题，且由于总体方差未知，因此可以直接使用R 语言中t.test()函数进行分析。
解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(54 , 67 , 68 , 78 ,70 , 66 , 67 , 70 , 65, 69)> t.test(x) #t.rest()做单样本正态分布区间估计One Sample t-testdata: xt = 35.947, df = 9, p-value = 4.938e-11alternative hypothesis: true mean is not equal to 095 percent confidence interval:63.1585 71.6415sample estimates:mean of x67.4> t.test(x,alternative="less"，mu=72) #t.rest()做单样本正态分布单侧间估计One Sample t-testdata: xt = -2.4534, df = 9, p-value = 0.01828alternative hypothesis: true mean is less than 7295 percent confidence interval:-Inf 70.83705sample estimates:mean of x67.4结论：双侧区间估计：平均脉搏点估计为67.4，95%区间估计为63.1585 71.6415；单侧区间估计：p= 0.01828<0.05,拒绝原假设，平均脉搏低于正常人。
7.（习题4.6）甲、乙两种稻种分别播种在10块试验田中，每块试验田甲、乙稻种各种一半。
假设两稻种产量X, Y均服从正态分布，且方差相等。
收获后10块试验田12提示：此题是两个正态总体的区间估计问题，且由于两总体方差未知，因此可以直接使用R语言中t.test()函数进行分析。
t.test()可做两正态样本均值差的估计。
注意此例中两样本方差相等。
参考教材P185倒数第四行开始至P186。
解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）> x<-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141)> y<-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125)> t.test(x,y,var.equal=TRUE)Two Sample t-testdata: x and yt = 4.6287, df = 18, p-value = 0.0002087alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval:7.536261 20.063739sample estimates:mean of x mean of y140.6 126.8结论：期望差的95%置信区间为7.536261 20.0637398.（习题4.7）甲、乙两组生产同种导线，现从甲组生产的导线中随机抽取4根，从）分别为假设两组电阻值分别服从正态分布N(1, )和N(1, )，未知。