高等数学第二期半期考试试题 一、解答下列各题（每题６分）1. 1. 利用二重积分求不等式r ≤2cos θ, r ≤1所表达的区域的面积。
2. 2. 设z =(1+xy )x,求dz3. 3. 求函数 u=e xyz在点P 0(1,0,-1)沿方向的方向导数。
其中P 1的坐标为(2,1,-1).4. 4. 设u=f (x,y,z ),而ϕ(x 2，e y ，z )=0，y=sim x 其中f , ϕ具有一阶连续偏导数，且求。
5. 5. 设z=z (x , y )由。
6. 6. 求曲面x 2+4y-z 2+5=0 垂直于直线的切平面方程。
二、（每题８分） 1. 1. 计算二重积分其中Ｄ：x 2+y 2≤1。
2. 2. 计算二次积分。
三、（每题８分） 1. 1. 求的一个特解。
2. 2. 求微分方程的通解。
四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x 2+2y 2到平面x+2y-3z=2的最短距离。
五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数。
六、（８分）利用极坐标计算七、(６分)设f (u )为可微函数，f (0)=0。
一．（20分）计算下列各题： 1． 1． Z =, 求Z X , Z Y2． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U z 3． 3． U = , 求 dU 4． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）10P P 0≠∂∂x ϕdx du y zx z dt e x z xyt ∂∂∂∂=+⎰-,2确定，求zy x =-=-2121()⎰⎰+Ddxdyy x ⎰⎰-21331sin x dyy dx x x y y sin =-''321y x xy dx dy +=22232z y x u ++=⎪⎩⎪⎨⎧+===1332t z t y tx ⎰⎰⎰⎰-----+RR y R x y R yxy dxedy e dx e dy e 22222222y x 3()222z y x e ++１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值 四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分： １．１． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
２． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.３． ３． 利用格林公式计算曲线积分，L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
六．（10分）计算曲面积分：１．I=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图： 七．（10分）求解各题：⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ⎰⎰+D dxdyy x )6(()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx ()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰V xydxdydz⎰Lxds⎰-Lxdyydx 2π⎰-+++-Ldyx y dx y x )635()42(⎰⎰∑+ds y x )(22⎰⎰∑xzdxdyZX１． １．２． ２． 验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y). 八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧第二学期高等数学半期试题解答一．（20分）计算下列各题： 5． 1． Z =, 求Z X , Z YZ x =3yx y-1 Z y =3X lnX6． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U zU x =y 2z 3 U y =2xyz 3 U z =3xy 2z 27． 3． U =, 求 du8． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
切线方程为：法平面方程：２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
设 切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0法线： 三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值得驻点(-4,1)为极小值点()()()⎰---++1,20,122)(ydy xdx y x ⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333y x 3y()222z y x e++222)222(z y x ezdz ydy xdx dU ++++=()21sin f y f z x '+'=()22211211sin sin sin f y f y f y f z xx ''+''+''+''=⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y tx }3,2,1{=s312111+=--=+z y x 0)1(3)1(2)1(=++--+z y x 222-++=z y x F x F x 2=y F y 2=z F z 2=}12,8,4{=n362412-=-=-z y x 92+-=y x Z x 62--=x y Z Y 0,0==Y X Z Z 2=xx Z 1-=xy Z 2=yy Z 031222>=-⨯=-B AC 0>A )1,4(-∴1206361416min -=+--++=f四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分：４． １． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
原积分＝５． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.原积分＝６． ３． 利用格林公式计算曲线积分.L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
原积分＝六．（10分）计算曲面积分： １． １．⎰⎰+Ddxdyy x )6(25/4425132)]5/(6)25(21[)6(212215/1==-+-=+=⎰⎰⎰⎰dy y dy y y y y y dx y x dx I y y ()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx dxy x f dy I yy),(/121⎰⎰=()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰----=--⋅==2/020)1(4)(212222πππθa ar ar e r d e rdr e d I ⎰⎰⎰Vxydxdydz⎰⎰⎰-==x xy xy dy dx I 101601⎰Lxds⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎰⎰15121224123210102dx x x dx x ⎰-Lxdyydx 2π⎰=+2222222)sin cos (ππR dt t R t R ⎰-+++-L dyx y dx y x )635()42(12)13(=+⎰⎰Dd σZYI=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图：原积分＝七． 七． 10分）求解各题：1. （因为，故积分与路径无关）2.验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧原积分＝⎰⎰∑+dsy x)(22πθσπ⎰⎰⎰⎰==+=2013222222)(dr r d d y x I D⎰⎰∑xzdxdy241)2(21])[()1(101032210=+-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰-xD dx x x x dy xy x x dx d y x x σ()()()()64)(122131,20,122=++=++⎰⎰⎰------ydy y dx x ydy xdx y x y Px Q ∂∂=∂∂是全微分。
,sin cos y Py y x Q ∂∂=-=∂∂2sin cos 2)cos (cos 2002y y x x y x dy y y x x xdx u xy +++=+++=⎰⎰⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333。