附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d (I −1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC A Cd d利用公式(I −1),上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d (I −2) 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S (I −3)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。
即:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11(I −5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ciic A z A z A yA y 1111(I −6) 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到坐标原点的距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰⎰⎰A ρI A z I A y I A Ay A z d d d 2P 22 (I −7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。
由图(I −2)可见,222z y +=ρ,所以有⎰⎰+=+==Ayz AI I A z y A ρI )d (d 222P (I −8)即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分Azyd I Ayz ⎰=(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。
从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。
惯性矩00、例题I −1图图I −2的数值恒为正值,而惯性积则可能为正,可能为负,也可能等于零。
惯性矩与惯性积的常用单位就是m 4或mm 4。
§I −3 惯性矩、惯性积的平行移轴与转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图I −3所示为一任意截面,z 、y 为通过截面形心的一对正交轴,z 1、y 1为与z 、y 平行的坐标轴,截面形心C 在坐标系z 1O y 1中的坐标为(b ,a ),已知截面对z 、y 轴惯性矩与惯性积为I z 、I y 、I yz ,下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩与惯性积I z 1、I y 1、I y 1z 1。
Aa I I z z 21+=(I −10)同理可得Ab I I y y 21+=(I −11)式(I −10)、(I −11)称为惯性矩的平行移轴公式。
下面求截面对y 1、z 1轴的惯性积11z y I 。
根据定义⎰⎰++==AAz y Aa yb z A y z I )d )((d 1111⎰⎰⎰⎰+++=AAAAAab A y b A z a A zy d d d dabA bS aS I zy yz +++= 由于z 、y 轴就是截面的形心轴,所以S z =S y =0,即abAI Iyz z y +=11 (I −12)式(I −12)称为惯性积的平行移轴公式。
二、惯性矩、惯性积的转轴公式图(I −4)所示为一任意截面,z 、y 为过任一点O 的一对正交轴,截面对z 、y 轴惯性矩I z 、I y 与惯性积I yz 已知。
现将z 、y 轴绕O 点旋转α角(以逆时针方向为正)得到另一对正交轴z 1、y 1轴,1z I 1y I 11z y I 。
α2 (I −13) 同理可得 α2 (I −14) (I −15) 式(I −13)、(I −14)。
§I −4 形心主轴与形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩图I −3图I −4由式(I −15)可以发现,当α=0o,即两坐标轴互相重合时,yzz y I I =11;当α=90o时,yzz y II -=11,因此必定有这样的一对坐标轴,使截面对它的惯性积为零。
通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴,简称主轴,截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。
假设将z 、y 轴绕O 点旋转α0角得到主轴z 0、y 0,由主轴的定义2cos 2sin 20000=+-=ααyz yz z y I I I I从而得y z yz II I α--=22tan 0 (I −16) 上式就就是确定主轴的公式,式中负号放在分子上,为的就是与下面两式相符。
这样确定的α0角就使得z I 等于m ax I。
由式(I −16)及三角公式可得2204)(2cos yzy z yz I I I I I +--=α2204)(22sin yzy z yzI I I I +--=α将此二式代入到式(I −13)、(I −14)便可得到截面对主轴z 0、y 0的主惯性矩⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+--+=+-++=22224)(2124)(21200yzy z y z y yzy z yz z I I I I I I I I I I I I (I −17)二、形心主轴、形心主惯性矩通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。
通过截面形心的主轴叫做形心主轴,截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩。
例题I −5 求例I −1中截面的形心主惯性矩。
解:在例题I −1中已求出形心位置为0=C z ,m323.0=C y过形心的主轴z 0、y 0如图所示,z 0轴到两个矩形形心的距离分别为m 137.0I =a ,m 123.0II =a截面对z 0轴的惯性矩为两个矩形对z 0轴的惯性矩之与,即2II II II 2I I I II I 0a A I a A I I z z z +++=2323123.04.02.0124.02.0137.012.06.01212.06.0⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=42m 1037.0-⨯=截面对y 0轴惯性矩为4233II I m 10242.0122.04.0126.012.000-⨯=⨯+⨯=+=y y y III第六章梁的应力§6−1 梁的正应力一、纯弯曲与平面假设本节将推导梁弯曲时横截面上正应力的计算公式。
为了方便,我们先研究梁横截面上只有弯矩的情况,这种情况称为“纯弯曲”。
如图6−1所示的梁,在如图所示荷载作用下,中间CD段就属于这种情况,由其剪力图与弯矩图可以瞧到,在CD段内的弯矩M=Fa=常数,而剪力F S等于零。
我们先作如下的实验,,1垂直。
2不计。
二、正应力公式的推导1.几何方面相应的纵向线应变为式(6−的线应变愈大。
2.ε将式E=(6−2) 3.由图6−4可以瞧出,梁横截面上各微面积上的微内力d F N=σd A构成了空间平行力系,它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量⎰=A AσF dN,⎰=AyAσzM d,⎰=AzAσyM d由截面法可求得该截面上只有弯矩M,即上式中F N,M y均等于零,所以有dN==⎰A AσF(d)d==⎰AyAσzM(e)A图6−4M图图6−1(a)(b)(c)3(b)O(a)mnpqMA σy M Az ==⎰d (f)由式(d)得d d N ===⎰⎰A AρA Ey A σF因E 、ρ为常量,所以有d ==⎰z AS A y (g)即梁横截面对中性轴(z 轴)的静矩等于零。
由此可知,中性轴通过横截面的形心,于就是就确定了中性轴的位置。
由式(e)可得0d d d ====⎰⎰⎰AA Ay A zy ρEA ρEzy A σz M因此d ==⎰yz AI A zy (h)即梁横截面对y 、z 轴的惯性积等于零,说明y 、z 轴应为横截面的主轴,又y 、z 轴过横截面的形心,所以其应为横截面的形心主轴。
最后由式(f)可得MA σy M Az ==⎰d即ρρρσzAAAEI A y EA Ey A y M ====⎰⎰⎰d d d 22式中⎰=Az Ay I d 2就是梁横截面对中性轴的惯性矩。
将上式整理可得z EI M=ρ1(6−3)由式(6−3)可知:曲率与弯矩M 成正比,与EI z 成反比。
在相同弯矩下,EI z 值越大,梁的弯曲变形就越小。
EI z 表明梁抵抗弯曲变形的能力,称为梁的弯曲刚度。
将式(6−3)代入式(6−2),可得z I Myσ=(6−4)这就就是梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式。
例题6−1 长为l 的矩形截面梁,在自由端作用一集中力F ,已知h =0、18m,b =0、12m,y =0、06m,a =2m,F =1、5kN,求C 截面上K 点的正应力。
解:先求出将M C 、I z 、y MPa 09.3Pa 1009.3)06.0(10583.0103σ643=⨯=-⨯⨯⨯-==-y I M zCKK 点的正应力为正值,表明其应为拉应力。
/2 /2 例题6−1图8例§6−2 梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件最大正应力发生在距中性轴最远的位置,此时max max y I Mσz=而对整个等截面梁来讲,最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上,距中性轴最远的位置,即maxmaxmax y I M σz=引用符号m axy I W z z =,则上式可改写成zW M σmax max =(6−5) 式中的W z 叫做弯曲截面系数(或抗弯截面系数),它与梁的截面形状与尺寸有关。