圆锥曲线第二定义练习学案
1.过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。
2. 设椭圆22
22b
y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。
3. 双曲线13
y x 2
2
=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。
4.点P 在椭圆
上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______
5. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为
6. 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之值最小，则点M 的坐标为_______
7. 已知椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。
8. 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112
y 16x 2
2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。
9.椭圆x 2/25+y 2
/9=1上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。
10. F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为：
A. ex 0-a
B. a-ex 0
C. ex 0-a
D.e-ax 0
11.过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。
12. 已知椭圆方程为x 2/b 2+y 2/a 2=1(a>b>0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它
们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。
13. 已知椭圆x 2/4+y 2/3=1内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|值最小，求点M 的坐标
14. 已知双曲线x 2/25-y 2
/144=1的左右焦点分别为F 1和F 2，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使|PF 1|是P 到左准线的距离d 与|PF 2|的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由。
1.解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。
由第二定义知： 8)1(2
x x 2
|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=。
2. 解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|
C F |1为F 1到准线l 1的距离，A
D ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |2
1|AF |1=。
由椭圆的第二定义知：
2
1|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 3. 解：设点P （00y x ，）（0x 0>），双曲线的左准线为l 1：21x -
=，右准线为l 2：21x =，则点P 到l 1、l 2的距离分别为2
1210201-=+=x d x d ，。
所以，1221x 21
x d d PF PF 002121=-+
==，解得23x 0=。
将其代入原方程，得215y 0±=。
因此，点P 的坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±21523，。
4.
5.2
6.
7. 解：设点P （00y x ，），则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=，0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=。
因为21F PF ∆为直角三角形，所以2212221|F F ||PF ||PF |=+。
即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++ 解得2
2220e a c 2x -=，由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤。
2222a e
a c 20<-≤∴，解得1e 22<≤。
8. 解：如图，过点A 作右准线l 的垂线，垂足为N ，与椭圆交于点M 。
∵椭圆的离心率2
1e = ∴由第二定义得|MN ||MF |2=
∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长，且1082|AN |=+=
∴|MF |2|AM |+的最小值为10，此时点M 的坐标为（32，3）
9. [解]设P 到左准线距离为|PM|
由椭圆第二定义|PF 1|/|PM|=e
∴|PF 1|=e|PM|=4/5×5/2=2
又∵|PF 1|+|PF 2|=2a=10
∴|PF 2|=8
10. [解]设点P(x 0,y 0)到椭圆右准线x=a 2/c 的距离为|PN|，则|PN|=a 2/c-x 0 根据椭圆第二定
义
|PF 2|=e|PN|=e(a 2
/c-x 0)=a-ex 0，故选B
11. [解]过A 、B 两点向准线引垂线AM 、BN
设AB 中点为C(3,y 0)，过C 向准线引垂线CH ，
则CH 是直角梯形ABNM 的中位线。
∴|AM|+|BN|=2|CH|
抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，准线为x=-1
所以有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|CH|=2（3+1）=8
12. [解]设所求双曲线为x 2/α2-y 2/β2=-1，
依题意c 2=a 2-b 2=α2+β2(c 为半焦距)，两个焦点为F 1、F 2，
则|PF1|是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。
设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1)，则
|PF1|=e |PK|=e1 |PK1|
∴|PF1|=c/a|a2/c-y1|=c/β|y1-β2/c|
∴a-cy1/a=cy1/β-β => y1=aβ/c
代入椭圆或双曲线方程得x1=bα/c，
于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为：
S=4(abαβ/c2)≤2ab (α2+β2) /c2=2ab
当且仅当α=β=c/ 2 = 2(a2-b2)/2时，Smax=2ab
故所求双曲线方程为x2-y2= -（a2-b2）/2
由对称性，四个顶点的坐标分别为：( 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, -2a/2), (2b/2,- 2a/2)
13. [分析]按常规思路，设M(x,y)求出右焦点F(1,0)
则|MP|+2|MF|= （x-1）2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2
由此表达式求最小值是比较困难的，联想椭圆方程中隐含的特征量，发现式中的2即
1/e，故2|MF|即为1/e|MF|
[解]由椭圆第二定义|MF|/|MN|= e
|MN|= |MF|/e
当MN与PM共线，即过P作准线x=a2/c的垂线
这条线与椭圆的交点就是所求的点M
此时M(2 6/3,-1)
14. [解]根据题意：|PF1|2=d|PF2|,即|PF2|/|PF1|=|PF1|/d= e
∴|PF2|= e|PF1|
∵|PF2|-|PF1|=2a=10 c=13 e=13/5
∴13|PF1|/5-|PF1|=10 |PF1|=25/4 |PF2|=65/4
∴|PF1|+|PF2|=45/2 又|F1F2|=26
从而|PF1|+|PF2|<|F1F2|矛盾
∴符合条件的点P不存在。