1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数
κT 。
解：已知理想气体的物态方程为
,pV nRT = （1）
由此易得
11
,p V nR V T pV T
α∂⎛⎫=
== ⎪
∂⎝⎭ （2） 11
,V p nR p T pV T
β∂⎛⎫=
== ⎪
∂⎝⎭ （3） 2111
.T T V nRT V p V p p
κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：
()ln T V =αdT κdp -⎰
如果11
,T T p
ακ==
，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为
(),,V V T p =
其全微分为
.p T
V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有
11.p T
dV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为
.T dV
dT dp V
ακ=- （2）
上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）
若1
1,T T p
ακ==，式（3）可表为
11ln .V dT dp T
p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭⎰ （4）
选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体
积由0V 最终变到V ，有
000
ln
=ln ln ,V T p
V T p - 即
000
p V pV C T T ==（常量）， 或
.pV CT = （5）
式（5）就是由所给11,T T
p
ακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为
1
n V n C C n γ
-=
- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
0lim .n T n n
n
Q U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，
,V n
U C T ∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭ 所以
.n V n
V C C p T ∂⎛⎫
=+ ⎪∂⎝⎭ （2）
将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得
11n TV C -=（常量）。
（3）
将上式微分，有
12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=
所以
.(1)n
V V T n T ∂⎛⎫
=- ⎪
∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得
,(1)1
n V V pV n C C C T n n γ-=-
=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p V -图中两条绝热线交于C 点，如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA 中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律，有
W Q =。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由1T 升至2T 。
假设γ是常数，试证明前者的熵增加值为后者的γ倍。
解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为
0ln ln .p S C T nR p S =-+ （1）
在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为
2
1
ln
.p p T S C T ∆= （2） 根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为
0ln ln .V S C T nR V S =++ （3）
在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为
2
1
ln
.V V T S C T ∆= （4） 所以
.p p V
V
S C S C γ∆=
=∆ （5）
1.18 10A 的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1s 。
（a ）若电阻器保持为室温27C ，试求电阻器的熵增加值。
（b ）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27C ，电阻器的质量为10g ，比热容p c 为110.84J g K ,--⋅⋅ 问电阻器的熵增加值为多少？
解：（a ）以,T p 为电阻器的状态参量。
设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27C 不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
（b ）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q 将全部被电阻器吸收而使其温度由i T 升为f T ，所以有
2f i (),p mc T T i Rt -=
故
22f i 23
10251
300600K.100.4810p i Rt T T mc -⨯⨯=+=+≈⨯⨯
电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为
f
i
231f i 600
ln
100.8410ln 5.8J K .300
T p p T mc dT T S mc T
T --∆===⨯⨯=⋅⎰
1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为i T 。
今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到2T 为止。
假设物体维持在定压下，并且不发生相变。
试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为
2min
222i p i T W C T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
解： 制冷机在具有相同的初始温度i T 的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至2T 为止。
以1T 表示物体1的终态温度，p C 表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为
()11p i Q C T T =- （1）
物体2放出的热量为
()22p i Q C T T =- （2）
经多次循环后，制冷机接受外界的功为
()12122p i W Q Q C T T T =-=+- （3）
由此可知，对于给定的i T 和2T ，1T 愈低所需外界的功愈小。
用12,S S ∆∆和3S ∆分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的熵变。
由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为
1230S S S S ∆=∆+∆+∆≥ （4）
显然
1
12
23ln ,ln ,0.
p i p i
T S C T T S C T S ∆=∆=∆= 因此熵增加原理要求
12
2
ln
0,p i TT S C T ∆=≥ （5） 或
12
2
1,i TT T ≥ （6） 对于给定的i T 和2T ，最低的1T 为
2
12
,i T T T =
代入（3）式即有
2min
222i p i T W C T T T ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（7）
式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。