第4节　数列求和课标要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.|知识衍化体验|回顾教材，夯实基础知识梳理1.求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式S n＝＝.②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，S n＝；(ⅱ)当q≠1时，S n＝＝.2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(3)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (4)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(5)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.n （n ＋1）22.12＋22＋…＋n 2＝.n （n ＋1）（2n ＋1）63.常见的裂项公式 (1)＝－.1n （n ＋1）1n 1n ＋1(2)＝. 1（2n －1）（2n ＋1）12(12n －1－12n ＋1)(3)＝－.1n ＋n ＋1n ＋1n 应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.基 础 自 测[错误辨析]1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，＝(－).( ) 1n 2－1121n －11n ＋1(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5. [教材衍化]2. 一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( ) A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n －24.(必修5P61AT4(3)改编) 1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1＝________(x≠0且x≠1)．[考题体验](1n)5.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，a n＝f(0)＋f＋…＋(n－1n)f＋f(1)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________.|考点聚焦突破|分类讲练，以例求法考点一　公式法求和【例1】(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{b n}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.规律方法　1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之. 【训练1】(2017·北京卷)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{a n}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.考点二　分组转化法求和【例2】已知等差数列满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. {a n }(1)求的通项公式；{a n }(2)若b n ＝a n ＋q a n (q ＞0)，求数列的前n 项和S n . {b n }规律方法　1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝其中数列{a n }，{b n }是等比数列{a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，)或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练2】 (2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且－1a1＝，S 6＝63.1a 22a 3(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b }的2n 前2n 项和.考点三　裂项相消法求和【例3】已知正项数列的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．{a n }12(1)证明：数列是等比数列；{a n }(2)若b n ＝log 2a n ＋3，求数列的前n 项和T n .{1b n b n ＋1}规律方法　1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练3】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和为T n .1Sn考点四　错位相减法求和【例4】设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .规律方法　1.一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.在利用等比数列求和公式求和时，应注意分清是n项还是n－1项.【训练4】(2018·江西百校联盟联考)已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n n}是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.[思维升华]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.[易错防范]1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.第4节　数列求和知识衍化体验 知识梳理 1. (1) ①na 1＋d .n （a 1＋a n ）2n （n －1）2② (ⅰ) na 1； (ⅱ).a 1（1－q n ）1－qa 1－a n q1－q基础自测1.　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.　A3.C4.－5.a n ＝2(n ＋1)1－x n(1－x )2nx n1－x 考点聚焦突破【例1】 解　(1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ， 由题意得解得或(舍去)，{－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，){d ＝1，q ＝2){d ＝3，q ＝0)故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. (2)由已知得解得或 {－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，){q ＝4，d ＝－1){q ＝－5，d ＝8.)∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6； 当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.【训练1】解　(1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3， 所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列， 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝＝.1·（1－3n ）1－33n －12【例2】解 (1)设数列的首项为a 1，公差为d ， {a n }则由a 5＝9，a 2＋a 6 ＝14，得Error!解得Error! 所以的通项公式a n ＝2n －1. {a n }(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q ＞0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋q 7＋…＋q 2n －1)＝n 2＋；q (1－q 2n )1－q 2当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．。