？人
24＋17－8=33（人）
答：一共有33人。CHENLI
8
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得 优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。 语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学
都优 优秀
秀的 的人
人数： 数：
CHENLI
20
某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一 种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两种语 言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
CHENLI
21
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活 动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活 动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生 多少人？
2、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
CHENLI
22
3、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第 一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的 有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？
87人
122人
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
CHENLI
12
例： 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍
数有多少个？
100÷5=20（个）
不是5的倍数；
5的倍 30的
不是6的倍数；
数的 倍数 61的0倍0÷6=16 （个） ……4 不是30的倍数
个数 的个 数的
不会骑自行车的：50－38=12（人）
不会溜冰的：50－40=10（人）
不会打乒乓的：50－46=4（人）
四项都会的至少有： 50－（15＋12＋10＋4）
=9（人） CHENLI
15
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
CHENLI
CHENLI
问：“谁做完了语文作业？ 请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？
做完 语文 的人 数： 37人
两科 做完 做完 数学 的人 的人 数：？ 数：
数： 数： 个10数0：÷30=3 （个） ……10
20＋16－3=33 （个） 5的倍数的个数；
100－33=67 （个）
？个
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
答：有67个。
CHENLI
13
全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有 21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的 有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人 这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既 爱好舞蹈又爱好美术？
探索之旅
CHENLI
1
容斥问题
1、什么是 容斥问题
2、容斥原 理
容斥原理的 进阶练习
CHENLI
2
基础 详解：什么是容斥问题
探索之旅
CHENLI
3
容斥问题
容—包括 斥—排除
CHENLI
4
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
CHENLI
30
87人
？人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有12C2HE人NLI 。
9
四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每 个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小 组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参 加了。那么四（一）班一共有多少人？
25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
42人
48人
37＋42－48=31（人）
答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。
CHENLI
11
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门 功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀 的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学 做完 优秀 的人 的人 数：？ 数：
18＋21＋9－3－1－40 =44－40 =4（人）
答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。
CHENLI
14
某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行
车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会
的至少有多少人？
一项不会的
一项不会的就
尽可能的多，
不符合
即考虑重复的
不会游泳的：50－35=15（人）
16
练习时间：容斥原理
探索之旅
CHENLI
17
五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报， 有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？
96人
64+48-96=112-96=16（人）
64人
48人
？人（两种都
订的）
CHENLI
18
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做 完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、 数学作业都做完的有多少人？
CHENLI
23
6÷12= 14-7.4= 5.7－3.9= 32.1×3=
5
洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一 个夹子夹住相邻的两块手帕的两边， 这样一共要多少个夹子？
8×2－7=9（个）
答：一共要9个夹子。
CHENLI
6
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的 分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于 性质1＋性质2减去它们的共同性质。
CHENLI
7
例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已
知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，
其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组
一共有多少人？
容斥原理：
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
弹电 子琴 的人 数： 17人
1、找分的类：2类
找1、2类共有的
2、2类的总个数等于2 类的和减去它们的共 有的。
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学得优的有多少人？
CHENLI
19
3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第 二次测试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满 分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少 人？