r (t )
O
点所经过的路径称为点的运动轨迹。
5.1 矢量法
二、点的速度
在从t 时刻到t +Δ t 时刻这一段时间间隔内 位移 r MM r ( t t ) r ( t )
平均速度
瞬时速度
r v* t
Δr dr v lim r Δt 0 Δt dt
自然轴系、n、b的方向随动点位置的变动 而变动， 单位矢量、n、b的方向不断变化。
5.3 自然法
四、点的速度
r v lim t 0 t r S lim ( ) t 0 S t S r lim lim t 0 t t 0 S dS dr dS dt dS dt
2 d v an v v 2 lim n t 0 dt S
| || ' | 2 | | sin 2 sin 2 2
当t 0时, S 0, sin 2 2
| |1于是
2 sin 2 sin 2 d 1 lim | | lim lim ( ) t 0 S t 0 t 0 S S dS 2
5.3 自然法
二、运动方程
弧坐标 S 是代数量，是关于时间 t 的连 续函数，称作运动方程，即
S S( t )
5.3 自然法
三、自然轴系
1、密切面的概念
由于动点附近的微小弧段可以可以近似的看 成为一条在密切面内的平面曲线，因此对平面曲 线而言，密切面就是此时该曲线所在的平面。
5.3 自然法
方向沿轨迹的切线。
v
5.3 自然法
五、点的加速度
dv d dv dτ d 2 S dτ a (v τ ) τ v 2 τ v dt dt dt dt dt dt
★ 切向加速度
a
——表示速度大小的变化
dv d 2 S a 2 dt dt
第二篇 运动学
第五章 点的运动学
第五章 点的运动学
•矢量法 •直角坐标法 •自然法
第五章 点的运动学
一、运动学的研究内容
经典力学中的运动学研究物体运动的几何性质， 即宏观物体的空间位置随着时间流逝的变化规律。
★ 建立物体的运动方程 ★ 分析物体运动的速度和加速度、角速度和角加速度
★ 研究物体运动的分解与合成规律
dv v dt
v vxi vy j vz k
速度
vx ,vy ,vz
dx dt dy dt
dz dt
ds v dt
v vx v y vz
加 速 度
2
2
2
dv a dt 2 d r 2 dt
a axi ay j az k
a ax a y az
2、自然轴系的概念
由切线、主法线和副法线组成的直角坐标 系称为自然轴系。、 n、 b分别为切向、主法 向和副法向单位矢量，三个相互垂直矢量的轴 线构成的坐标轴即为自然坐标轴。 的正向指向弧坐标正向，n的正向指向曲线 在M点的曲率中心，b的正向则由右手规则决定， 即
b= ×n
5.3 自然法
2、自然轴系的概念
★ 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
d S 2 an v v lim v lim ( ) v lim t 0 t 0 t 0 S dt t S t
5.3 自然法
★ 法向加速度
d 2 an v v lim t 0 S dt
v
v vx i v y j vz k
v v x v y vz
2 2 2
vx cos(v , i ) v vy cos(v , j ) v v cos(v , k ) z v
5.2 直角坐标法
三、点的加速度
dv a axi a y j az k dt dv y dv x dv z i j k dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
a
v
a a a a
2 x 2 y
2 z
ay ax az cos( a ,i ) , cos( a , j ) , cos( a , k ) a a a
5.3 自然法
一、弧坐标与自然法
当点的运动轨迹已知时，可沿点的轨迹曲线 建立一条曲线坐标轴，任选一点O为原点，并规定 原点O的一侧弧长为正，动点M到原点O的弧长S=OM 称为弧坐标，用弧坐标来描述点的运动的方法称 作自然坐标法，也称自然法。
Байду номын сангаас
第五章 点的运动学
三、运动学的建立基础
由于空间、时间与物体运动的无关性，因此整 个运动学的理论体系可建立在欧几里德几何学公理 的基础上。
四、运动学中的两种力学模型：
•质点：不计尺寸大小的物体。 •刚体：形状和大小都不变化的物体。
第五章 点的运动学
五、运动学中与时间相关的两个重要概念
•瞬时：在整个时间流逝过程中的某一时刻。 •时间间隔：两个瞬时之间流逝的时间。
六、运动学中与位置相关的重要概念——参 考体
•参考体：描述物体的运动之前被选作参照物的物体 •参考系：将所取参考体经抽象化处理，以坐标系出现
第五章 点的运动学
1、能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基 本运动。能熟练的计算速度和加速度、角速度和角 加速度； 2、能正确的分析刚体的平面运动，能熟练地确 定速度瞬值，计算刚体角速度，熟练的选用不同的 方法求平面图形上各点的速度和角速度; 3、正确地选择动点和动系，应用合成运动的方 法求点的速度和加速度。
方向沿轨迹的切线
5.1 矢量法
曲线运动中速度沿轨迹切线，指向前进的方向。
5.1 矢量法
三、点的加速度
在从t 时刻到t +Δ t 时刻这一段时间间隔内 M 速度变化量
v v ( t t ) v ( t )
v
v
平均加速度
v a* t
M
a

v
v
5.1 矢量法
加速度
Δv dv d r a lim 2 r Δt 0 Δt dt dt
2
M
v
a
加速度方向沿速度矢端 曲线的切线。
速度矢端曲线
5.2 直角坐标法
一、运动方程
r xi yj zk
x x(t ), y y(t ), z z (t )
消去参数 t 后，可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
5.2 直角坐标法
二、点的速度
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
5.3 自然法
★ 加速度
dv v a a an n dt
2
| a | a a a , arctan an
2 2 n
矢径法
直角坐标法
自然法
运动 方程
r r ( t ) x x( t ), y y( t ),z z( t ) s s( t )
2 2 2
dv a dt
v an
2
小结
1、矢量法适用于理论推导； 2、直角坐标法为最常用的方法。
3、自然法适用于点的运动轨迹已知时；
点的运动的两类问题
1、已知运动方程（或某些运动条件，建立运动
方程），然后求其它量。——微分法
2、已知速度方程（或加速度方程），求运动方 程。——积分法
七、基本要求
第五章 点的运动学
运 动 学

点的运动
刚体的运动
曲线运动 平面曲线运动
直线运动 刚体的平动 刚体的定轴运动 刚体的平面运动 刚体的定点运动
空间曲线运动

刚体的基本运动
刚体的一般运动
5.1 矢量法
一、运动方程
选 O 为原点 ， 当动点 运动时，则矢径 r 的大小 及方向均随时间而变，矢 径端点所抽绘的曲线就是 动点的轨迹。矢径的运动 方程为 r OM r ( t ) M