运动方程。
（3）．位移
在如图2-2 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻 的点 运动到时刻 的点 ，质点相对原点 的位矢由 变化到 。显然，在时间间隔 内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点 指向终点 的有向线段 称为点
到点 的位移矢量，简称位移。位移 反映了质点位矢的变化。如把 写作 ，则质点从 点到点 的位移为
2． 质点
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行 星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空 中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平 动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情 况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
（2-11b） 由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达
式(2-8)写成
（2-12a） 或
(2-12b) 其中切向加速度
是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度
则是由于速度方向的变化而引起。
的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程 则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有 在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小| |才可视为与路程 AB 没有区别。
2． 速度 在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是 静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还 应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。 （1）．平均速度
又由
图2-7
及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i， 积分可得
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
消去参数t，可得运动的轨迹方程
这是一个直线方程，直线斜率
。
图2-8
2．平面极坐标
设有一质点在如图2-8所示 平面内运动，某时刻它位于点 。由坐标原点 到点 的有向线段 称为径矢， 与 轴之间的夹角为 。于是，质点在点 的位置可由( )来确定。这种以( )为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点 的坐标则为( )。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:
应当注意，加速度 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作 曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速 度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线 的凹侧。
式(２-5)可以写成
即
（2-6） 其中
例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为
亦趋于零，这时
的方向趋于与
垂直，即趋于与
垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线 方向上取单位矢量即法向单位矢量
(如上图)，那么，在
时，
的极限值为
这样，式(2-8)中第二项可以写成
由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用
表示，有
考虑到
（2-11a）
故上式为
（2-4a） 或 （2-4b） 其中
是速度 在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。
显然，如以 分别表示速度 在 轴和 上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
上式亦可以写成 (2-4c) 速度
的方向与 时的极限方向一致。当 时，
趋于和轨道相切，即与点 的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向。如图２-４所示。
如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹 曲线运动。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为
。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为 。在 时间内，质点的位移为 。在时间间隔 内的平均速度 为
平均速度可写成
图2-3
其中 是平均速度 在 轴和 轴上的分量。
（2 ）． 瞬时速度 当
时，平均速度
的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用 表示，有
况。这里，我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，
而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标
轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧
图2-9
长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点
的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增
例 设质点的运动方程为 其中 ， 求 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数 的方法求出。
(1)由题意可得速度分量分别为
故 时的速度分量为
于是 时，质点的速度为
速度的值为 ，速度 与 之间的夹角为 (2)由已知运动方程 消去
式(2-8)中第一项
（2-8）
，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为
的方向，即与速度
的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用
表示， 另外，可得
式中
为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号
表示，有
（2-9） 角加速度
的单位为
， 则切向加速度
（2-10）
第2章 质点运动学
本章要点： 1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速 度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学 科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子 核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常 见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各 点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任 一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改 变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。
2.1 质点运动的描述
2.1.1 参考系 质点
1．参考系
在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有 的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标 准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描 述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一 物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指 明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体 的运动时,通常选地球作为参考系 。
（1）．平均加速度 如图２-６所示，设在时刻
，质点位于点
，其速度为
，在时刻
，质点位于点
，其速度为
，则在时间间隔
内，质点的速度增量为
，它在单位时间
内的速度增量即平均加速度为
图2-6
（２）．瞬时加速度 当 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用 表示，有
（2-5） 的方向是 时 的极限方向，而 的数值是 的极限值。
称为角坐标，它是时间 t 的函数，即 ＝ （t）, 为角速度，在圆周运动下, 。
3．自然坐标
（１）．自然坐标
一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如
在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹
y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前
提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状
式(2-8)中的第二项
图2-10
，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看 出。设在时刻 ，质点位于圆周上点 ，其速度为 ，切向单位矢量为 ；在时刻 ，质点位于点 ，速度为 ，切向单位矢量为 。在时间间隔 内，径矢 转过的角度为 ，速度增量为 ，切向单位矢量的增量则为 。由于切向单位矢量的值为1，即 ，因而，从图(b)可以知道 。当 时，
图2-4
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所 以位矢 和速度 是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程 求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因 此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状 态；另一是由已知运动状态求解运动方程。
和 来表示。那么位矢 亦可写成
其值为
（2-1）
1
(2)． 运动方程
当质点运动时，它相对坐标原点
的位矢
是随时间而变化的。因此，
是时间的函数，即
（2-2） 式(2-2)叫做质点的运动方程；而
、
和
则是运动方程的分量式，从中消去参数
便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。 应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只 考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的 点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件 的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。 例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径 的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在 研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动 情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
（2-3a）
图2-2
亦可写成
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在
轴和
轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为
（2-3b） 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变 化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示
（１）．位置矢量