本章重点
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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
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14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
st st st

0

②象函数F(s) 存在的条件：


0
f (t )est dt
[0 ,0＋]区间 f(t) =(t)时此项 0
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如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f (t ) Me
ct
t [0, )




0
f (t ) e dt 0 Me
st t
令 x t
0

0

0
f1 ( x) ( x) f 2 ( )es esx d dx
sx s 0
f1 ( x) ( x)e dx f 2 ( )e
F1 (s) F2 (s)
d
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14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
t0
令 t t0
f ( )e
0

s ( t0 )
d e
st 0



0
f ( )e d
s
e
st 0
F ( s)
e st 0 延迟因子
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例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t ) (t ) (t T )
at st
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14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 若 L[ f1 (t )] F1 (s) ,
则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2L f 2 (t )
A1F1 (s) A2 F2 (s)
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(2) f (t ) δ ( t )的象函数
解
1 d (t ) L[ (t )] (t ) s dt d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s
2

d f (t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt
T 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s
5.拉普拉斯的卷积定理
st
L[ f 2 (t )] F2 (s)
证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) est dt

A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt
st 0 0

0
A1F1 (s) A2 F2 (s)
f (t ) f1 (t ) f2 (t ) fn (t )
部分分式 展开法
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N (s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D(s) b0 s b1s bn
m
m1
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例3 求周期函数的拉氏变换
解 设f1(t)为一个周期的函数
1 o
f( t) ... T/2 T
L[ f1 (t )] F1 (s)
f1 (t 2T ) (t 2T )
t
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e
F1 (s)[e
sT
sT
2 sT
F1 (s)
e
2 sT
e
3sT
1 F1 ( s ) ] sT 1 e
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1 L[ f (t )] F1 ( s ) sT 1 e
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结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t ) K (1 e
解
at
)的象函数
F (s) L[K ] - LKe
at

例2
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F ( s ) L[ (t )] (t ) e dt (t )e st dt 0
st


0
e
s0
0
1
(3)指数函数的象函数
f (t ) e
at
F (s) L e

at
1 ( s a ) t e e e dt 0 0 sa 1 sa
s F (s) sf (0 ) f (0 )
2 '
d n f (t ) n n1 n1 s F ( s ) s f ( 0 ) f (0 ) L[ ] n dt

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3.积分性质 若： L[ f (t )] F (s)
t 0
则：L[
第14章
14.1 拉普拉斯变换的定义
线性动态电路的 复频域分析
14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应
14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
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则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
0
t
F1 ( s) F2 ( s)
证
L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f1 (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s)
0
st 0
证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt
f (t t0 )est dt
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
st


(1)单位阶跃函数的象函数
f (t ) (t )
F (s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt
st



st
1 st 1 e 0 s s

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(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
t
0
证 令 L[ f (t )dt ] (s)
d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0
F ( s ) s ( s ) f (t )dt
0 t
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
0
t 0
F (s) (s) s
0
f (t )( se st )dt
0

f (0 ) sF (s)
若足够大
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例 利用导数性质求下列函数的象函数 (1) f (t ) cos( t )的象函数
解
dsin(t ) cos (t ) dt 1 d(sin t ) cos (t ) dt 1 d L[cost ] L (sin(t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s


正变换 反变换
s
复频率
s j
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注意
① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。

0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 0
今后讨论的均为0 拉氏变换。


F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt
1 o
f(t)
1 1 根据延迟性质 F (s) esT s s 例2 求三角波的象函数
解