2017年湖南省高中数学联合竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,,2017X =L ，集合(){,,,,S x y z x y z X =∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈，且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∉2．已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥，与棱1AA 交于D ，若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A ．48 B ．24 C ．16 D ．123．已知椭圆C ：22184x y +=.对于任意实数k ，椭圆C 被下列直线中所截得弦长，与被直线l ：1y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=4．对任意正整数n 与k （k n ≤），用(),f n k 表示不超过n k⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数的个数（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则()100,3f =（ ） A ．11 B ．13 C ．14 D ．195．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆则是钝角三角形 D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆则是锐角三角形6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{}n a ：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。

根据“梯形”的构成，可知624a =（ ）A ．166247B ．196248C ．196249D ．196250二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）7．已知函数()f x 满足()()()f m n f m f n +=，()13f =，则()()()()()()22122413f f f f f f ++++()()()()()()22364857f f f f f f +++= ．8．已知A ，B ，C 为O e 上三点，且()12AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则数量积AB AC ⋅=uu u r uuu r ． 9．已知z C ∈，若关于x 的方程248430x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值是 ．10．对正整数n ，定义()()!1221n n n n =--⋅⋅⋅L ，记()12!12!3!1!n nS n n ⎛⎫=+++- ⎪ ⎪+⎝⎭L ，则2017S = ．11．设0x ≤≤π，3sin2x=tan x = ．12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导数为()f x ，且有()()22f x xf x x +>，则不等式()()()22017201710x f x f ++-->的解集为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．在锐角ABC ∆中，sin A =，且a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边. （1）求()2sin 2sin2B CB C +++的值； （2）若4a =，试求当AB AC ⋅uu u r uuu r取得最大值时，ABC ∆的面积ABC S ∆的值.14．已知数列{}n a 满足12a =，()211n n nS a S +-=-（*n ∈N ），其中n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；（2）若对任意的n ，均有()()()12111n S S S kn +++≥L ，试求k 的最大值. 15．已知a ，b +∈R ，且a b ≠. （1ln ln 2a b a ba b -+<<-； （2）如果a ，b 是()ln 2017f x x x =-的两个零点，求证：2ab e >.16．如图所示，AB 是椭圆221mx ny +=（0m n >>，m n ≠）的斜率等于1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于两点C ，D ，设CD 的中点为F ，CD 交AB 于点E . （1）求证：2224CD AB EF -=； （2）求证：四点A ，B ，C ，D 共圆.2017年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案一、选择题1-3:BAD 4-6:BCD二、填空题7．24 8．0 9．12008-11．12512．2018x <- 三、解答题13．解：（1）∵锐角ABC ∆中，sin 9A =，∴1cos 9A =，()sin 9B C +=()1cos 9B C +=-，于是()2sin 2sin 22B C B C +++=111992⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭⨯-+= ⎪⎝⎭.（2）∵1cos 9AB AC bc A bc ⋅==uu u r uu u r ，再由余弦定理，有2216162cos 9b c bc A bc =+-≥，因此bc 的最大值为9，此时，1sin 2ABC S bc A ∆==.14．解：（1）∵()2111n n n n nS a S S S ++--==-，∴()2211n n n n S S S S +--=-，即121n n nS S S +-=， 因此111n n n S S S +--=，故1111111n n n n S S S S +==+---，这说明11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个以1111111S a ==--为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可知()11111n n n S =+-⨯=-，∴211n n S n++=. 于是不等式()()()12111n S S S kn +++≥L ，即35721123n kn n+⋅⋅⋅⋅≥L ， ∴135721123n k n n +≤⋅⋅⋅⋅⋅L 对任意的*n ∈N 恒成立， 记()135721123n g n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅L ，则()135********n g n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+L 231n n +⋅+， 于是()()()()21231g n n n g n n ++==+2222121n n n nn n +++>++，即()g n 是关于n 的增函数. 故()g n 的最小值为()13g =，∴3k ≤，即k 的最大值为3. 15．解：（1）∵a ，b +∈R ，且a b ≠，∴不妨设0a b >>.则一方面，ln ln ln ln 2a b a b a b a b -+<⇔->-()212ln 1a a b a b a a b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭⇔>++， 记1a x b =>，则不等式()21ln 1x x x -⇔>+4ln 21x x ⇔+>+，再记()4ln 1h x x x =++，则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，由()0h x '=得1x =， 并且1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为增函数，故()()12h x h >=.ln ln ln a b a a b b -<⇔-ln a b <⇔<，记1t =>，则不等式12ln 0t t t⇔+-<， 设()12ln g t t t t =+-，则()()2221211t g t t t t --'=--=，由()0g t '=得1t =，并且1t >时，()0g t '<，所以()g t 在()1,+∞上为减函数，故()()10g t g <=.ln ln 2a b a ba b -+<<-. （2）∵a ，b 是()ln 2017f x x x =-的两个零点， ∴ln 2017a a =……①且ln 2017b b =……②，①②两式相减，得()ln ln 2017a b a b -=-1ln ln 2017a b a b -⇒=-， 由（1）已证ln ln 2a b a b a b -+<-，故122017a b a b +>⇒+22017>， ①②两式相加，得()ln ln 2017a b a b +=+， 因而()()ln 20172ab a b =+>， 故2ab e >.16．证：（1）设AB ：y x a =+，代入221mx ny +=， 整理，得()22210m n x anx na +++-=于是，2A B anx x m n+=-+，21A B na x x m n -=+，∴()2224A B A B AB x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦()()228m n mna m n +-=+，同时，AB 的中点坐标为,an am E m n m n ⎛⎫-⎪++⎝⎭.再设CD ：y x b =-+，代入221mx ny +=， 整理，得()22210m n x bnx nb +-+-=于是，2C D bnx x m n+=+，21C D nb x x m n -=+，∴()2224C D C D CD x x x x ⎡⎤=+-=⎣⎦()()228m n mnb m n +-+，同时，CD 的中点坐标为,bn bm F m n m n ⎛⎫⎪++⎝⎭. ∴()()()()2222222n a b m b a EFm n m n +-=+++()()()22222n a b m b a m n ++-=+，注意到，1EF CD k k ==-⇒()()n a b m a b +=-， ∴()()222228mn a b CD AB m n --==+()()()()()222288mn a b a b n a b m n m n -++=++，并且()()()22222244n a b m b a EFm n ++-=⋅+()()2228n a b m n +=+，因此，2224CD AB EF -=.（2）由（1）已证2224CD AB EF -=， 又E 为AB 的中点，F 为CD 的中点， ∴2CD FD =，2AB EB =，于是222FD EF EB =+，事实上，222EF EB BF +=， 因而，AF BF FD FC ===， 故A ，B ，C ，D 四点共圆，且圆心为F .。