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(2)指数式与对数式的关系
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(3)对数的性质 根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a>0， a≠1)，即 1 的对数为零，底的对数等于 1.对数恒等式 alogaN ＝N(a>0，a≠1，N>0)． (4)常用对数和自然对数 通常将以 10 为底的对数叫作常用对数，为了简便，N 的 常用对数 log10N 简记为 lgN；在科学技术中常常使用无理数 e ＝2.71828…为底的对数，以 e 为底的对数叫作自然对数，为 了简便，N 的自然对数 logeN 简记作 lnN.
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1．指数的有关概念与性质 (1)有关概念 根式： a叫根式，其中 n 叫根指数，a 叫被开方数． n 次方根：若 xn＝a，则 x 叫 a 的 n 次方根，其中 n>1，n ∈N＋.当 n 为正整数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根为一个负数；当 n 为正偶数时，正数的 n 次方根(偶 n
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[例 1]
求不等式 x－1<log6(x＋3)的所有整数解．
[解析]设 y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出 它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标 显然在－3 和－2 之间，另一个交点设为 P.
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m n mp np
n
n
.
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②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质 一样有： aαaβ＝aα＋β(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (aα)β＝aαβ(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (ab)α＝aαbα(a>0，a≠1，b>0，b≠1，α∈Q)． ③ 0 指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于 0 才有 意义． 2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫作指数函数．
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(2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
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(3)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)底数越大时，函数的图像 在 y 轴右侧部分越远离 x 轴，这一性质可通过 x＝1 时的函数 值大小去理解．如 a>b>1>c 时，见函数图像(如图所示)
(1)求二次函数解析式． (2)设 A 点坐标为(x，y)，试求矩形 ABCD 的周长 p 关于 x 的函数解析式，并求 x 的取值范围．
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[解析](1)因为抛物线 y＝－mx2＋4m 的顶点坐标为(0,2)， 1 所以 4m＝2，解得 m＝2. 1 2 即二次函数解析式是 y＝－2x ＋2. (2)因为 AD＝BC＝2|x|，所以 AD＋BC＝4|x|. 又因为 AB＝CD＝|y|＝y，
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1 2 所以 AB＋CD＝2y＝2(－ x ＋2)＝－x2＋4， 2 所以 p＝－x2＋4＋4|x|＝－x2＋4|x|＋4. 1 2 1 2 由于 y＝－ x ＋2，令 y＝0，则－ x ＋2＝0， 2 2 1 2 所以 x＝± 2，即抛物线 y＝－ x ＋2 与 x 轴的两个交点分 2 别为(2,0)，(－2,0)． ∴－2<x<0，∴p＝－x2－4x＋4(－2<x<0)．
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次方根)有两个，它们互为相反数，其中正的 n 次方根为 a， n 负的 n 次方根为－ a，缩写成± a(a>0)，负数的偶次方根在 实数内无意义.0 的正指数次幂为 0. (2)有关性质 ①根式的基本性质：如果一个根式的被开方数是正数或 者为 0， 那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘或都除 n np 以同一个正整数，根式的值不变，即 an＝ amp(a≥0，n、p 为大于 1 的正整数，m∈N＋)，用分数指数幂表示为 a ＝a
[例 2]
2 若－1<loga <1，求 a 的取值范围． 3
2 1 2 [解析]－1<loga <1⇒loga ＝－1<loga <1＝logaa， 3 a 3 1 2 ①当 a>1 时，有 y＝logax 为增函数， < <a. a 3 3 3 ∴a> ，结合 a>1，故 a> . 2 2
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2a＋3>1 由题意，得 2 1 － 4 a > 2 a ＋ 3
，
0<2a＋3<1 或 2 0<1 － 4 a < 2 a ＋ 3
，
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3 －2<a<－1 a>－1 化简得 2 ，或 1 a ＋4a＋2<0 a<4 2 a ＋4a＋2>0 解得－1<a<－2＋ 2. 所以 a 的取值范围是(－1，－2＋ 2)．
(7)对数函数的图像及性质
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在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的 方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想 方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过 程中提高运用知识解决问题的能力．
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4．转化与化归思想 所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段，将问题通过变换使之转化，归结为在已有的知 识范围内可以解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变 换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易 求解的问题，将未解决的问题变换，转化为已解决的问题．可 以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无一不是在不断 转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分 类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．
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数学思想方法归纳
1.数形结合思想的应用 函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式， 因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到 “以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复 杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数 的判断和解的范围的确定等．
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(6)对数换底公式 logaN logbN＝ (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．利用对数 logab 换底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般 的对数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．
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(5)对数的运算性质 ①loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． M ②loga N ＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． ③logaMn＝n· logaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)． ④loga n 1 M＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈N＋，n>1)．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章 指数函数和对数函数
本章归纳总结
第三章 指数函数和对数函数
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知识结构
知识梳理
专题探究 方法警示探究
即时巩固
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) D．3 个
C．2 个
此类方程是超越方程，只能借助函数图像解决．
[答案] C
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[解析]
在同一坐标系中画出函数 y＝log2(x＋4)及 y＝3x
的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点， 故选 C.
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因为 x＝1 时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2 时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以 1<xP<2. 综上，原不等式的所有整数解为－2，－1,0,1.
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方程 log2(x＋4)＝3x 解的个数是( A．0 个 [分析] B．1 个
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1 2 ②当 0<a<1 时，有 y＝logax 为减函数， > >a. a 3 2 2 ∴a<3，结合 0<a<1，故 0<a<3. 2 3 ∴a 的取值范围是{a|0<a<3或 a>2}．
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已知 log2a＋3(1－4a)>2，求 a 的取值范围． [解析]