2.1.2指数函数 及其性质
观察事例1：细胞的分裂过程
y=2x (x∈ N+)
第1次
第2次 第3次
第X次
问题：求一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞 个数y（用解析式表示）
观察事例2 ：一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的
一半，第二次剪掉剩余绳长的一半……剪了x次后剩 余绳子的长度为y米，试写出y和x的函数关系.
图象都位于x 轴 X∈R时,y >0
上方
X>0时,底大图高
X<0时,底大图低
图象都经过定 点（0，1）
X=0时,y=1;
X>0时,0<y<1; X<0时,y>1.
1
自左向右，图
-3 -2 -1-1 0 1 2
345
678
x
象逐渐下降
-2
两个函数在R 上都为减函数
0<a<1
图
y=ax
y
象
1
0
x
1.定义域：R
解：Q 函数y (2a 1)x 是指数函数
2a 1>0且2a 1 1
即a>
1 2
且a
1为所求。
练习2：
求下列函数的定义域：
(1)y=3
x -2
; (2)
y
(
1
)
1 x
.
3
解：（1）Q x 2 0 x 2
函数y 3 x2的定义域为x | x 2
(2)Q
x
0函数y
(
1)
1 x
的定义域为x
性
2.值域：(0，+∞)
3.过定点(0,1)，即x=0时,y=1;
质
X>0时,0<y<1; X<0时,y>1.
4.在R上是减函数
a>1
0<a<1
y=ax y
y=ax
y
图
象
1
1
0
x
0
x
1.定义域：R
1.定义域：R
性
2.值域：（0，+∞） 2.值域：（0，+∞）
质
3.过定点(0,1)
3.过定点(0,1)
1
x
f (3) 即a 3 ,于是f (x) 3 .
所以,
f
(0)
0
1,
f
(1)
1 3
3
,
f
(3)
1
1
.
2.比较下列各题中两个值的大小 （1）、1.72.5 < 1.73
y=ax
（2）、0.8-0.1 < 0.8-0.2
（3）、 2 -0.8 > 4-0.8 （4）、1.70.3 > 0.93.1
x
小结:利用指数函数的单调性
比较两个指数幂形式的实数的
大小时,先找到相应的函数模型,
把它们看成是这个函数的两个
函数值.如果不能看成是同一函
1
2
数的函数值,可以找中间量1.
3.截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人 口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口 数最多为多少（精确到亿）？
关系?可否利用y 2x的图象画出y (1)x的图象? 2
y (1)x 2
y
9
y 2x
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1 -2
-3
思考:（1）试问指数函数y=ax经过哪一个定点？
（2）函数y=ax-1+2(x∈R)又经过哪一个定点？
（3）函数y=ax-1+m(m为常数) 经过定点 (1，1)，试求m的值。
年份 1999 2000 2001 2002
… 1999+x
经过年数 0 1 2 3 … x
y= 13(1+1%)x
人口数（亿） 13
13(1+1%) 13(1+1%)2 13(1+1%)3
… 13(1+1%)x
于是 :函数y 13 (11%)x 就是我国人口从1999年 年底开始对时间的增长函数 当x=20时,y=131.0120 16(亿) 所以, 经过20年后, 我国人口数最多为16亿.
1
-3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
图象特征 函数性质
图象都位于x 轴上方
X∈R时，y >0 X>0时,底大图高; X<0时,底大图低.
图象都经过定
点（0，1） x
自左向右，
图象逐渐上升
X=0时,y=1; X>0时,y>1; X<0时,0<y<1.
两个函数在R 上都为增函数
第1次 第2次 ( x∈N+ )
2
一.指数函数的概念：
一般地，函数 y=ax（ a>0,且a≠1）
叫做指数函数（exponential function），它 的定义域是R.
为什么要限制（a>0,且a≠1）
练习1：
设函数y (2a 1)x 是指数函数， 求实数a的取值范围。
|
x
0
3
二.指数函数的图象及性质:
如何画出指数函数y=2x的图象
1.列表
x
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y=2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
2.描点、连线
y y=10x y=2x
8 7 6 5 4 3 2
（4）函数y=ax-2(x ∈ R)不经过哪一 个象限?
课堂小结：
1.知识方面：掌握指数函数的定义、图象和性质
2.从研究问题的思想方法上
① 图象
性质 数形结合思想方法
② 特殊
一般
③类比、分类讨论等思想方法
本题小结:
在实际问题中,经常会遇到类似例3的指数增长模型: 设原有量为N ,每次的增长率为p,经过x次增长,该量 增长到y,则
y=N(1+p)x (x N ). 我们把形如y kax (k R,a 0,且a 1)的函数称为指数型函数, 这是非常有用的函数模型.
思考:
函数y 2x的图象与函数y (1)x的图象有什么 2
即x=0时,y=1;
即x=0时,y=1;
X>0时,y>1;
X>0时,0<y<1;
X<0时,0<y<1.
X<0时,y>1.
4.在R上是增函数
4.在R上是减函数
1.已知指数函数f (x) ax (a 0,且a 1)的图象
过点(3, ),求f(0),f(1),f(-3)的值.
解 :因为f (x) ax的图象过点(3, ),所以
a>1
图
y
y=ax
象
1
0
x
1.定义域：R
性
2.值域：(0，+∞)
3.过定点(0,1),即x=0时,y=1
X>0时,y>1
质
X<0时,0<y<1
4.在R上是增函数
对比做下列函数的图象
y (1)x 2
y ( 1 )x 10
y
图象特征
函数性质
9
8 7 6
y (1)x 2
5 4 3 2
y ( 1 )x 10