中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填——一锤定音1.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是__________________. 解析:分⊙A 与⊙C 内切、外切两种情况. 答案:1<r<8或18<r<252.在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是3和2,则∠BAC 的度数为__________________. 解析:(1)∠BAC=∠CA D-∠BAD=45°-30°=15°. (2)∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°. 答案:15°或75°3.直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_____________. 解析:5和m 都有可能为斜边. 答案:414120512或 4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3 cm 和4 cm,则此正方形的边长为____________ cm. 解析:分以下两种情况讨论.答案:7123760或 5.一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长是4 cm,则它的腰长是_______________. 解析:一边长为4 cm,可能为腰也可能为底. 答案:4 cm 或5 cm6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为____________. 答案：9或57.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_______________.解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能.答案:35,34512,583,25或或 8.用一张边长分别为10 cm 、8 cm 的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_________________(结果可带π).解析:10 cm 、8 cm 均有可能为圆柱的高. 答案:cm cm ππ54或二、精心选一选——慧眼识金9.如图1-3-2,⊙O 的直径为10 cm,弦AB 为8 cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数,则满足条件的点P 有( )图1-3-2A.2个B.3个C.4个D.5个 答案：D10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )A.2B.3C.4D.5 答案：A11.P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 解析:如图.答案:C12.如图1-3-3,在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,AD=12.在AB 上取一点E,使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似,则AE 的长为( )图1-3-3A.16B.14C.16或14D.16或9 解析:(1)ACAEAB AD AB AE AC AD ==)2(;.答案:D13.若实数a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0,则1111--+--b a a b 的值为( ) A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20 解析:分a=b,a≠b 两种情况. 答案:D14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C 作直线交x 轴于点D,使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的直线最多可以作( )A.2条B.3条C.4条D.6条 答案：C 15.若解方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是( ) A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2解析:原式化为x 2-2x-m-2=0. 原方程有增根,即x=0或x=-1. 答案:D16.在Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是( )A.5B.10C.5或4D.10或8 解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边. 答案:D三、用心做一做——马到成功17.(2005安徽课改中考,21)下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰△ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示) 分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.答案:(1)上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下:(ⅰ)当∠A 是顶角时,设底角是α. ∴30°+α+α=180°,α=75°. ∴其余两角是75°和75°. (ⅱ)当∠A 是底角时,设顶角是β, ∴30°+30°+β=180°,β=120°. ∴其余两角分别是0°和120°.(2)感受中答:有“分类讨论”“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的即可.18.(2006广东深圳中考,21)如图1-3-4,抛物线y=ax 2-8ax+12a(a<0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC.图1-3-4(1)求线段OC 的长.(2)求该抛物线的函数关系式.(3)在x 轴上是否存在点P,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由ax 2-8ax+12a=0(a<0)得x 1=2,x 2=6, 即OA=2,OB=6. ∵△OCA∽△OBC, ∴OC 2=OA·OB=2×6. ∴OC=32(-32舍去). ∴线段OC 的长为32. (2)∵△OCA∽△OBC, ∴31322===OC OA BC AC .设AC=k,则BC=3k.由AC 2+BC 2=AB 2得k 2+(3k)2=(6-2)2. 解得k=2(-2舍去). ∴AC=2,BC=32=OC.过点C 作CD⊥AB 于点D,∴OD=21OB=3. ∴CD=322=-OD OC . ∴C 的坐标为(3,3).将C 点的坐标代入抛物线的解析式得3=a(3-2)(3-6),∴a=-33.∴抛物线的函数关系式为y=34338332-+-x x . (3)①当P 1与O 重合时,△BCP 1为等腰三角形.∴P 1的坐标为(0,0).②当P 2B=BC 时,(P 2在B 点的左侧),△BCP 2为等腰三角形. ∴P 2的坐标为(6-32,0).③当P 3为AB 的中点时,P 3B=P 3C,△BCP 3为等腰三角形. ∴P 3的坐标为(4,0).④当BP 4=BC 时(P 4在B 点的右侧),△BCP 4为等腰三角形. ∴P 4的坐标为(6+32,0).∴在x 轴上存在点P,使△BCP 为等腰三角形,符合条件的点P 的坐标为(0,0),(6-32,0)(4,0),(6+32,0).19.(2006上海中考,25)已知点P 在线段AB 上,点O 在线段AB 延长线上.以点O 为圆心,OP 为半径作圆,点C 是圆O 上的一点.图1-3-5(1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO. 求证:△CAO ∽△BCO;(2)如果AP=m(m 是常数,且m>1),BP=1,OP 是OA 、OB 的比例中项.当点C 在圆O 上运动时,求AC ∶BC 的值(结果用含m 的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系,并写出相应m 的取值范围.(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴2==BO POPO AO . ∵PO=CO,∴BOCOCO AO =. ∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO. (2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m, ∵OP 是OA 、OB 的比例中项, ∴x 2=(x-1)(x+m),得x=1-m m ,即OP=1-m m .∴OB=11-m . ∵OP 是OA 、OB 的比例中项,即OBOPOP OA =.∵OP=OC,∴OBOCOC OA =. 设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q,当点C 与点P 、点Q 不重合时, ∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.∴m OBOPOB OC BC AC OB OC BC AC ===∴=.; 当点C 与点P 或点Q 重合时,可得BCAC=m,∴当点C 在圆O 上运动时,AC∶BC=m.(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1), AC+BC=(m+1)BC,圆B 和圆C 的圆心距d=BC,显然BC<(m+1)BC,∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含. 当圆B 与圆C 相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2. ∵m>1,∴1<m<2.当圆B 与圆C 内切时,(m-1)BC=BC,得m=2. 当圆B 与圆C 内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式; (2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大? (说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克) 解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤<<+-.180150,2052,150120,80,1200,16032t t t t t (2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,385), ∴385=a(60-110)2+20.∴a=3001.∴z=3001(t-110)2+20(t>0).(3)设纯收益单价为W 元,则W=销售单价-成本单价.故W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---+<≤---<<---+-.180150,20)110(30012052,150120,20)110(300180,1200,20)110(300116032222t t t t t t t t 化简得W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--<<+--.180150,56)170(3001,150120,60)110(3001,1200,100)10(3001222t t t t t t①当W=-3001(t-10)2+100(0<t<120)时,有t=10时,W 最大,最大值为100; ②当W=-3001 (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W 最大,最大值为3259; ③当W=-3001(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W 最大,最大值为56. 综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.21.(2006云南课改中考,25)如图1-3-8,在直角坐标系中,O 为坐标原点,OABC 的边OA 在x 轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D 是BC 的中点,延长AD 交OC 的延长线于点E.图1-3-8(1)画出△ECD 关于边CD 所在直线为对称轴的对称图形△E 1CD,并求出点E 1的坐标; (2)求经过C 、E 1、B 三点的抛物线的函数表达式;(3)请探求经过C 、E 1、B 三点的抛物线上是否存在点P,使以点P 、B 、C 为顶点的三角形与△ECD 相似.若存在这样的点P,请求出点P 的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由. 解:(1)过点E 作EE 1⊥CD 交BC 于F 点、交x 轴于E 1点,则E 1点为E 点的对称点. 连结DE 1、CE 1,则△CE 1D 为所画的三角形.∵△CED∽△OEA,21=OA CD , ∴EAEDOA CD EO EC ==. ∵EF、EE 1分别是△CED、△OEA 的对应高, ∴211==OA CD EE EF .∴EF=21EE 1. ∴F 是EE 1的中点.∴E 点关于CD 的对称点是E 1点,△CE 1D 为△CED 关于CD 的对称图形. 在Rt△EOE 1中,OE 1=cos60°×EO=21×8=4. ∴E 1点的坐标为(4,0). (2)∵OABC 的高为h=sin60°×4=32.过C 作CG⊥OA 于G,则OG=2.∴C、B 点的坐标分别为(2,32)、(8,32).∵抛物线过C 、B 两点,且CB ∥x 轴,C 、B 两点关于抛物线的对称轴对称, ∴抛物线的对称轴方程为x=5. 又∵抛物线过E 1(4,0),则抛物线与x 轴的另一个交点为A(6,0). ∴可设抛物线为y=a(x-4)(x-6). ∵点C(2,32)在抛物线上, ∴32=a(2-4)(2-6),解得a=43. ∴y=43(x-4)(x-6)=36235432+-x x . (3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD 中∠ECD=60°,若△BCP 与△ECD 相似,则△BCP 中必有一个角为60°.下面进行分类讨论:①当P 点在直线CB 的上方时,由于△PCB 中,∠CBP>90°或∠BCP>90°. ∴△PCB 为钝角三角形.又∵△ECD 为锐角三角形, ∴△ECD 与△CPB 不相似.从而知在直线CB 上方的抛物线上不存在点P 使△CPB 与△ECD 相似. ②当P 点在直线CB 上时,点P 与C 点或B 点重合, 不能构成三角形. ∴在直线CB 上不存在满足条件的P 点. ③当P 点在直线CB 的下方时,若∠BCP=60°,则P 点与E 1点重合. 此时,∠ECD=∠BCE 1,而43,641==CE CD CB CE , ∴CBCDCE CE ，CE CD CB CE ≠≠11且. ∴△BCE 1与△ECD 不相似.若∠CBP=60°,则P 点与A 点重合.根据抛物线的对称性,同理可证△BCA 与△CED 不相似.22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy 中,点M 在x 轴的正半轴上,⊙M 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 、D 两点,且C 为的中点,AE 交y 轴于G 点,若点A 的坐标为(-2,0),AE=8.图1-3-9(1)求点C 的坐标.(2)连结MG 、BC,求证:MG ∥BC.(3)如图1-3-10,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P.动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PFOF的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.图1-3-10答案：(1)解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=21CD.∵,C 为的中点, ∴.∴.∴CD=AE.∴CO=21CD=4. ∴C 点的坐标为(0,4).方法二:连结CM,交AE 于点N, ∵C 为的中点,M 为圆心, ∴AN=21AE=4,CM⊥AE. ∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM 和△COM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,CM AM COM ANM AMN CMO∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4. ∴C 点的坐标为(0,4).(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2. 由OC 2+OM 2=MC 2得42+(r-2)2=r 2. 解得r=5.∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG∽△ANM.∴AN AOMN OG =. ∵MN=OM=3,即423=OG .∴OG=23.∵OBOM OC OG OB OM OC OG ====,83,8345.1. ∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB. ∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分) (3)解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM, ∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP. ∴DM 2=MO·MP,DO 2=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分) 即42=3·OP.∴OP=316. 当点F 与点A 重合时,5323162=-==AP AO PF OF , 当点F 与点B 重合时,5383168=+==PB OB PF OF . 当点F 不与点A 、B 重合时,连结OF 、PF 、MF.∵DM 2=MO·MP,∴FM 2=MO·MP. ∴FM MP OM FM =. ∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF. ∴53==MF MO PF OF . ∴综上所述,PF OF 的比值不变,比值为53. 23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1经过点A(-2,0)和点B(0,332),直线l 2的函数表达式为y=-33433+x ,l 1与l 2相交于点P.⊙C 是一个动圆,圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a.过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M.图1-3-11(1)填空:直线l 1的函数表达式是________________,交点P 的坐标是________________,∠EPB 的度数是________________.(2)当⊙C 和直线l 2相切时,请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R,并写出R=32-2时a 的值.(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,已知⊙C 的半径R=23-2,记四边形NMOB 的面积为S(其中点N 是直线CM 与l 2的交点).S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)y=33233+x P(1,3) 60° (2)设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示,D 是切点,连结CD,则CD⊥PD.过点P 作CM 的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC.(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC)所以PG=CD=R.当点C 在射线PA 上,⊙C 和直线l 2相切时,同理可证.取R=23-2时,a=1+R=23-1或a=-(R-1)=3-23.甲(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,由(2)知分两种情况讨论:①如图乙,当0≤a≤23-1时,S=21a a a a 363)]33433(332[2+-=•+-+.乙当a=-)63(23-⨯=3时(满足a≤23-1),S 有最大值,此时S 最大值=)329(233)63(43或=-⨯-. ②当3-23≤a<0时,显然⊙C 和直线l 2相切,即a=3-23时,S 最大,此时S 最大值=21［334)233(33332+--］·|3-23|=233. 综合以上①和②,当a=3或a=3-23时,存在S 的最大值,其最大面积为223. 24.(2006湖南常德中考,26)把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起,使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动,让三角板DEF 绕点O 旋转,设射线DE 与射线AB 相交于点P,射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1-3-12(1),当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时,易证△APD ∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.(2)将三角板DEF 由图1-3-12(1)所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ 的值是否改变?说明你的理由.(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y 与x 的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).图1-3-12分析:(1)问比较简单但很重要;(2)类似上问的方法思想.解:(1)8(2)AP·CQ 的值不会改变,理由如下: 如右图,在△APD 与△CDQ 中,∠A=∠C=45°,∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ. ∴△APD∽△CDQ.∴CQ CD AD AP . ∴AP·CQ=AD·CD=AD 2=(21AC)2=8. (3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D 作DG⊥AP 于G,DN⊥BC 于N, ∴DG=DN=2.由(2)知AP·CQ=8得AP=x 8. 于是y=21AB·AC -21CQ·DN -21AP·DG=8-x-x8(2<x<4). 情形二:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ, 由于AP=x 8,PB=x 8-4,易证:△PBM∽△DNM,∴22,PB BM BM DN PB MN BM =-=即. 解得BM=xx PB PB --=+44822. ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-xx --448. 于是y=21MQ·DN=4-x-xx --448(0<x≤2). 综上所述,当2<x<4时,y=8-x-x 8. 当0<x≤2时,y=4-x-xx --448(或y=x x x -+-4842).。