动点相似（全等）专题
1．如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B .
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ， ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.
2．（2017四川省眉山市）如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0），且M （1，83-）是抛物线上另一点．
（1）求a 、b 的值；
（2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；
（3）若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合），过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
3．定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M 是曲线33y x =（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP =∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是（3，3），点N 的坐标是（3，0）时，求点P 的坐标；
（2）如图3，当点M 的坐标是（3，3），点N 的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2017年湖北省宜昌市第24题）已知抛物线2y ax bx c =++，其中20a b c =>>，且0a b c ++=.
（1）直接写出关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；
（2）证明：抛物线2y ax bx c =++的顶点A 在第三象限；
（3）直线y x m =+与,x y 轴分别相交于,B C 两点，与抛物线2y ax bx c =++相交于,A D 两点.设抛物线
2y ax bx c =++的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得ADF ∆与BOC ∆相似.并且12
ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.
5．如图，已知抛物线285
y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285
y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F .
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，
①求证：ACD ∆是直角三角形；
②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？
6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C 经过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别相交于M （4，0），N （0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C 交于N ，H ，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C 且垂直x 轴于点D ．
（1）求线段CD 的长及顶点P 的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x 轴于A ，B 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S 四边形OPMN =8S △QAB ，且△QAB ∽△OBN 成立？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=14
b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半
圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
1
3
DE
EF
=，求二次函数
的表达式．
8. 如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，5
4
）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一
动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C 点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为3时的点P的坐标．
9. 抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线
3
3
5
y x
=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别
与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．。