数列的概念与简单表示法
[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识通关】
1．数列的有关概念
n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝⎩⎨⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
4．数列的分类
[
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用⎩⎨⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1.(n ≥2，
n ∈N *)或⎩⎨
⎧
a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利
用数形结合思想求解．
【基础自测】
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1
n (n ＋1)
，…，下列各数中是此数列中的项的是( )
A .135
B .142
C .148
D .154 B
3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A
4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )
A .32
B .53
C .85
D .23 D
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.
5n －4
【题型突破】
由a n 与S n 的关系求通项公式
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋2
3n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝
________. ⎩⎪⎨⎪⎧
47
12，n ＝1
12n ＋512，n ≥2
]
2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式a n ＝________.
(－2)n －1
3．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . [解] 设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时， na n ＝T n －T n －1
＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5， 因此a n ＝
6n －5
n ，
显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2，n ＝1，6n －5
n ，n ≥2.]
[方法总结] 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.
(2)用n －1替换S n 中的n 得出S n －1，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.
(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式.
易错警示：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误.
由递推关系式求数列的通项公式
【例1】 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝
n
n －1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)． [解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n (3n ＋1)2
(n ≥2)．
当n ＝1时，a 1＝1
2×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴a n ＝32n 2＋n 2.
(2)当n ≥2，n ∈N *时， a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n
a n －1
＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×n
n －1＝n ，
当n ＝1时，也符合上式， ∴该数列的通项公式为a n ＝n .
(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，
故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.
[方法总结] 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且
a n
a n －1
＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.
易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.
(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
(2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋
1，则a n ＝________. (1)A (2)n ·3n －2·3n －1
数列的性质
【例2】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n
，若a 1＝1
2，则a 2 018＝( )
A ．－1
B .1
2
C ．1
D ．2
(2)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝
a n a n ＋2
(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a n ＋1，b 1
＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3)
(3)已知数列{a n }满足a n ＝n ＋1
3n －16
(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．
(1)D (2)C (3)5
[方法总结] 1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的二种方法
(1)作差比较法：比较a n ＋1－a n 与0的大小．
(2)作商比较法：比较a n ＋1
a n 与1的大小，注意a n 的符号．
3．求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，
a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组⎩⎨⎧
a n －1≥a n ，
a n ≤a n ＋1
(n ≥2)找到数列的最小项．
(1)已知a n ＝
n ＋1
，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列
B ．递增数列
C ．常数列
D ．摆动数列
(2)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n
，则此数列的最大项是第________项． (3)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是________．
(1)B (2)9或10 (3)(－3，＋∞)
【真题链接】
1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. －63
2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. －1n
3．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝1
1－a n
，a 8＝2，则a 1＝________. 12。