Ni
N〔r
Ni(1
r)
No(1
r)2,故
经过x大的细菌数为
N°(1
r)x,其定义域为［0,+)。
2.
f(
2)
4, f (a b)
(a
1)。
3.
u
y e,u
3
v ,v
sint,t
4.
证明:
f[x(x 1)] ln x(x
1)
ln x
ln(x
1)
f(x)
f(x 1)。
5.
令
x+1=t,贝Ux=t1。
f(x
~r a
26
8.
指出下列各题的无穷大量和无穷小量
sin x lim
x 01 cosx
arctan x
lim2
x1 x
x
lim e sin x
x
0 ,为无穷小量。
0 ,为无穷小量。
0,为无穷小量。
x 1 lim
x 0sin x
比较下列无穷小量的阶
lim -~x- , lim —x— 1,当x1时，1x与1x3是同阶无穷小。
f(3)
f (1) (2 321) (2 12
1) 19
3 16。
12.
lim
x 0
sin x
f(0) a
a=
13.
ltm1
2
x77
啊1
1
(x 1)，
_2e ,
啊f(x)
f⑴,
14.
设f(x)
f(0)1
0, f(2) e22
0,由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点
x。
使得f(x°)
0，即ex
1一2
--
式
原
2
lim
x
2
2x 1
xsinx
02x一
2sin —(1
2
xsin x 1)
sin=2 lim -x 0x
x
2
•一x sin -
2
.1 xsin x
a sin —
3
_ .ea(et1)
原式=lim0
ea（填空题11）。
22
S2
a.一
—sin
2
2n
32
a2,S . 3a2
a
sin —
23
■32
(a
x)
1,得：a=1o
四、解答题题解
求定义域
1.
x x(x
0
1)
0,定义域为［1,
)和x=0
^511
25 x2
6定义域为［4,5］
设圆柱底半径为
r,
高为h,则v= r2h,h戛,则罐头筒的全面积
r
2 r2
2 rh
2 r2
其定义域为(0,+)。
(4)经过一天细菌数为
NiNoN°rNo(1r),经过两天细菌数为
1)
f(t)
(t
2(t
1)2, 0
1) , 1
t 1 1
t 1 2
(t 2(t
1)2
,1
1) , 2
f(x) (x 1)2
2(x 1)
6.
求函数的极限
(1)
原式=lim
n
1+
1 1/2
1
1 3n1
1
1/3
(2)
原式=lim
n
(3)
(4)
原式=lim
n
(5)
=lim 1
n
(1
1
x2)
=lim
x 1
(1
2 0。
15.设f(x)
asinx b
x,它在［0,a+b］上连续，且f(0)
b 0, f(a b) a[sin(a
b) 1] 0,若f(a b)
0,
则a+b就是方程f(x) 0的根。若f(a b) 0,由介质定理推论知：至少存在一点
(0,a+b),使得f( ) 0,
即 是f (x) 0的根。综上所述，方程x asinx b至少且个正根，并且它不超过a+b。
与已知条件矛盾。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1.
f(x) x2,
(x)
2x,f[ (x)]2x
22x
(D)
2.
3.
4.
y=x(C)
1 lim xsin —
xsin
lim
x 0cosx
5.
帅f (x)
6.
9 x20
7.
8.
(A)
(B)
唧伽1)2, lim f (x)
(D)
画出图形后知：最大值是
x)(2 x)
(1 x)(1 x x2)
lim
x 1
n
2 -
3
n
-1
3
3。
2sin 2xsin x
=lim 4
x 0
1arcsin x
(6)原式=一lim
2x 0x
令arctanx t，贝U tant
3tan2
sin2x sinx
2x x
4。(P289
常见三角公式提示）
(8)原式=lim 1
x
2x 1
—有界,
1 limxx
故极限为
0。
7. lim^t^
x 2sin(x 2)
j x 2
lm ―
x2sin(x2)
8.x2
ax b (1
x)( x c)x2
(c
1)x
c,a
(c
1),而lim( x
c) 5,
得c=6,从而
b=6,a=
7。
1
9.lim (1 sinx产
x 0
1
lim (1 sin x)
x 0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
第一章
、判断题题解
正确。设h(x)=f(x)+f(x),错。
错。
错。
错。
函数、极限与连续习题题解
y=2lnx的定义域(0,+
..1 lim ,
x0x
则h(x)=f(x)+f(x)=h(x)。故为偶函数。
),y=lnx2的定义域(,0)U (0,+)。定义域不同。
O故无界。
sin x
sin x x
tan2x
sin 2x
sin 2x 5x
10.lim ——
lim
lim
x 0sin 5x
x 0cos2x sin5x
x 02x sin5x
11.设u=ex1 ,
..u..
limlim -
—」1
u 0ln(1 u)u 0
ln e
ln(1
u)
1 cos2x
12.由x 0处连续定义,
(9)
原式=lim
x
(10)
7.
Sn
arctan x人
，令arcsin x
x
arctan x x, limx 0
mo
^ut
3tan2x3
lim 1
x 0
3tan2
lim 1
x
sint
arcsin x x, limx 0
忡。t
1 sin t
x3 tan2x
2x 1
2亏
2x 1
-in
s
叩。
^■Ht
ILபைடு நூலகம்
co
在x0点极限存在不一定连续。
1…,
-0逐渐增大。
x
lim
x
正确。
设limf(x) A,当x无限趋向于x0,并在x0的邻域，有A f(x) A。
x为
正确。
处也连续,
8.正确。
反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x。处连续，则g(x) =F(x)f(x),在x。处F(x),f(x)均连续，从而g(x)在x=x。
16.⑴w(0)
-^6^26(g); 2)Wmaxlim26，t26(g)；⑶26
一-4
设f(x) x
x 1,则
f(1)1,f(2)
帅(3
10。
13,
x) 2, lim f(x) 2 f⑴(B)
x 1
(A)
f (x)连续，由介质定理可知。
(D)
三、填空题题解
0
1.
2.
3、
arctan(x )是奇函数,
关于原点对称。
3.
4.
,y，可以写成
5.
设x t6, x 1,t
1,
ltm
t2
t3
(4)
9.
,为无穷大量。
x11 x33x 11(1 x2)
2’
_ 12、一—
1x与—(1 x )是等阶无分小。
2
10.当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x±1时，
x
1一 、’一.. x21
-是无分小重，当x0时，—
x
是无穷大量；当
x+时，ex是无穷小量，当x
时，ex是无穷大量。
11.