八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（ ）A ．12;B ．16;C ．24;D ．302、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31;B ．33;C ．21; D ．63第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ）A.2;B.22;C.23;D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分） 第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记 C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么，1021M M M +++ =_________。

第（6）题图7、 如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。

第（7）题图 第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。

9、若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。

12、（本题15分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3， ∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。

13、（本题15分）设a,b,c,d 都是正数。

求证：ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++14、（本题15分）如图，四边形ABCD 中， ∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。

15、（本题15分）如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长。

答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5， ∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 3．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,所以OG=x, DG = s所以OF 2=OB 2- BF 2=OC 2-CF 2 即42- x 2= 32- y 2所以x 2- y 2= 16 – 9 =7 （1）同理有OH 2=12- s 2= 32- t 2所以t 2- s 2= 32- 12= 8 （2）又因为OH 2+HB 2=OB 2 即y 2+ t 2= 9（1）-（2）得(x 2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 122222 所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8所以OD=22 4．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6 所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 2565．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ， 令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP 二、填空题1．40；2．12；3．223415+； 4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中，AB 2=AD 2+BD 2222D P AD AP i i +=所以22222)(D P AD BD AD AP AB i i +-+=-BP C P D P BD D P BD D P BD i i i i i ⋅=-+=-=))((22所以422==⋅=AB B P C P AP i i i 所以4=i M所以401021=+++M M M1． 如图，作A 关于ON 的对称点A '，D 关于OM 的对称点D '，连结A 'B ，CD '，则A 'B=AB ，C 'D=CD ，从而AB+BC+CD=A 'B+BC+CD '≥A 'D '因为∠A 'ON=∠MON=∠MOD '=20°，所以∠A 'OD '=60°又因为OA '=OA=43，OD '=OD=83， 所以OD '=2OA '即△OD 'A '为直角三角形，且∠OA 'D '=90°所以A 'D '=12)34()38(222'2'=-=-OA OD所以，折线ABCD 的长的最小值是123．如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，设AB = m, PM = x, PN = y ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+)3(9)()2(1)()1(4222222y x m y m x y x由（2）、（3）分别得，12222=+-+y my m x （3）92222=+-+x mx m y （4）将（1）代入（4）得;2303222m m y my m +=⇒=+- 将（1）代入（5）得;2505222m m x mx m -=⇒=-- 把x,y 的表达式分别代入（1）得0171024=+-m m因为m 2>0 所以m 2=5+22所以 AB=22521,225,225+=+=+=AD BC m 所以223415)(21+=⋅+=AB BC AD S ABCD4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，P 在AB 上且PA=x ，PB=y ，连PC ，PD ，在Rt △CAP 和Rt △DBP 中9,4222222+=+=+=+=y PB BD PD x PA AC PC 如图，P 点在0P 位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD 的长度，而CD=1312)32(22=++所以9422+++y x 的最小值为13。

5．设三边长为a,b,c ，其中c 是斜边，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)3(2)1(222ab c b a c b a （2）代入（1）得222)2(b a ab b a --=+ 即0)844(4=+--b a ab ab 因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0所以484-+=b a (a,b 为正整数) 所以b – 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1．如图,连结PA,PB ，PC ，设BD=x ，CE=y ，AF=z ，则DC=17-x ，EA=18 – y ，FB = 19 – z在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有2222)19(PF z PD x +-=+ 同理有： 22222222)18()17(PEy PF z PD x PE y +-=++-=+ 将以上三式相加，得222222)19()18()17(z y x z y x -+-+-=++即17x + 18y + 19z = 487又因为x + y + z = 27，所以x = z – 1,所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 182．如图，作CE ⊥AB 于E ，则CE=AE=2622=AC 所以BE=AB-AE=2 - 26426-= 又222BE CE BC +=所以BC=1662722-=-=+BE CE再过D 作DF ⊥BC ，交CB 延长线于F ，并设DF=CF=x ，则BF= x – BC = x + 1 - 6又Rt △DFB ∽Rt △CEB ，所以DF ：BF=CE ：BE ，即x ：(x + 1 - 6) = 264:26- 所以x = 2623+ 所以4692623)16(2121+=+⨯-⨯=⋅=∆DF BC S BCD 2． 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD ， 在Rt △ABE 中，BE=22AB AE + 所以BE=cd d c a d c a 2)(22222+++=++在Rt △BCF 中， BF=ab d b a d b a CF BC 2)(2222222+++=++=+ 在R t △DEF 中，EF=2222c b DF DE +=+在△BEF 中，BE+EF>BF即ab d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++3． 如图，过A 作AE ∥BC 交CD 于E ，则∠1=45°，∠2=60°， 过B 作BF ⊥AE 于F ，作CG ⊥AE 于G ，则Rt △ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为AB=6，BC=5-3，所以BF=AF=22AB=3，所以CG=BF=3， 所以CE=32CG=2，EG=31CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D 作DM ⊥AE 延长线于M∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°所以EM=21DE=2，DM=23DE=23 在Rt △AMD 中，AD=192)32()26(2222=++=+DM AM5．如图，以A 为中心，将△ABE 旋转60°到△AMN ，连NB ，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN ，∠NAE=60°所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC 取最小值时，折线MNEC 成为线段，且MC=62+，∠MBC=150°在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=x PB x 23,2= 所以222)23()2()62(x x x ++=+ 所以x = 2, BC=2。