不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例恒成立,试求实数a 的取值范围;例数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有f .例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2例例恒成立，求实数x 的取值范围例若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例8、当(1,2)x∈时，不等式240x mx++<恒成立，则m的取值范围是 .例ba,满足什么条件时,)(xf取a表示出b的取值范围.4例________ 例11、当x(1,2)时，不等式<a恒成立，求a的取值范围。

二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例12、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．例a 的取值范围例a b ⋅=___________例[)+∞,0,试求实数a 的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x∈[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x∈[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）1、若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围3、设函数329()62f x x x x a=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

5[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。

求实数a 的取值范围。

6的值总是正数，求x 的取值范围 7的取值范围 。

8910a 的集合是M ；对于M N ，． 11a 的范围。

③若方程32x x a--+=有解，求实数a 的范围。

12、 ①若x,y 满足方程22(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。

②若x,y满足方程22(1)1x y+-=，0x y c++=，求实数c的范围。

13、设函数432()2()f x x ax x b x R=+++∈，其中,a b R∈．若对于任意的[]22a∈-，，不等式()1f x≤在[]11-，上恒成立，求b的取值范围．14、设函数321()(1)4243f x x a x ax a=-+++，其中常数1a>，若当0x≥时，()0f x>恒成立，求a的取值范围。

15、已知向量a=(2x，x+1)，b= (1-x，t)。

若函数baxf⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31m in +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：f对θ设即，又∴(如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)21-≥m 例 例例即(a则上，-例，则易知在上是减函数，所以时max，则∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22axb xx≥--∈恒成立⇔max1()22axbx≥--，(0,1]x∈。

设1()22axg xx=--，2221()1'()222a xa ag xx x-=-+=-，令当当当例例11、解：1<a 2. 例12、解：1a>例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设()aaxxxf--=2.则关于x的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3m in -≤⇔x f ,即(),3442m in -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥例2(0而, x 由例例当当0<a 时, ()2++==x x x x f 是[)+∞,1上的增函数,所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h ′ (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。

由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k ≥45.（2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]（f g 13x 4⎩⎨⎧58上的图象如图知当3=x 时3=y ，33=a当33≤a ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤所以33≤a910所)1113∆f 即(1)1f -≤⎨⎩，即2b a ≤-+⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min (2)b a ≤-+⎨⎩，[]22a ∈-，所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．14、解：（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=aa a 2443423++-=；a f 24)0(=则由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得15、解：依定义tx x x x t x x x f ++-=++-=232)1()1()(若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设('f ∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立。

5≥t 。

即。