15章习题参考答案15-3求各图中点P 处磁感应强度的大小和方向。

[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：对于导线1：01=θ，22πθ=，因此aIB πμ401=对于导线2：πθθ==21，因此02=B方向垂直纸面向外。

(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：对于导线1：01=θ，22πθ=，因此r Ia I B πμπμ44001==，方向垂直纸面向内。

对于导线2：21πθ=，πθ=2，因此rI a I B πμπμ44002==，方向垂直纸面向内。

半圆形导线在P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即rIr I B 4221003μμ==，方向垂直纸面向内。

所以，rIr I r I r I r I B B B B 4244400000321p μπμμπμπμ+=++=++=(c) P 点到三角形每条边的距离都是o 301=θ，o 1502=θ每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 故P 点总的磁感应强度大小为 方向垂直纸面向内。

15-4在半径为R 和r 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面线圈，通有电流I ，方向如图所示。

求中心O 处的磁感应强度。

[解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位长度线圈匝数为n建立如图坐标，取一半径为x 厚度为dx 的 圆环,其等效电流为:方向垂直纸面向外. 15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I =5.0A ，圆筒半径 R =m 100.12⨯如图所示。

求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元d l则I Rl I πd d =则l d 在O 点所产生的磁场为 又因，θd d R l =所以，RI R I B 2002d 2d d πθμπμ==θcos d d x B B =，θsin d d y B B =半圆筒对O 点产生的磁场为：00x x ==⎰πdB B ，R IB B 200y y d πμπ==⎰ 所以B 只有y 方向分量，即RIB B 20y πμ==，沿y 的负方向。

15-6矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N 匝，通以电流I ，试证明通过螺绕环截面的磁通量为[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元x h S d d = 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r ，2212D r D <<， 所以 210220ln2d 2d d 12D D hNI r h r NI S B D Dπμπμ===Φ=Φ⎰⎰⎰ 15-7长直导线a a '与半径为R 的均匀导体圆环相切于点a ，另一直导线b b '沿半径方向与圆环接于点b ，如图所示。

现有稳恒电流I 从端a 流入而从端b 流出。

(1)求圆环中心点O 的B 。

(2)B 沿闭合路径L 的环流⎰⋅Ll d B 等于什么? [解] (1)43210B B B B B +++= 其中: 04=B RIB πμ401= R I B R I B 231,232303202μμ==,2332l l I I = 故2B 与3B 大小相等,方向相反,所以032=+B B 因而RIB B πμ4010==,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有:15-9磁场中某点处的磁感应强度T 20.040.0j i B -=，一电子以速度s m 100.1105.066j i v ⨯+⨯=通过该点。

求作用在该电子上的磁场力。

[解] 由洛仑兹力公式,有15-10在一个圆柱磁铁N 极正上方，水平放置一半径为R 的导线圆环，如图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I 。

在导线处的磁场B 的方向都与竖直方向成α角。

求导线环受的磁场力。

[解] 圆环上每个电流元受力为B l F ⨯=d d I将B 分解为z 分量和径向分量：r z B B B +=αcos z B B =，αsin r B B =所以 ()r z r z d d d d B l B l B B l F ⨯+⨯=+⨯=I I IOxx对于圆环⎰=0d r F 圆环所受合力为απθαπsin 2d sin d 20r z RIB R IB l IB F F ====⎰⎰，方向沿z 轴正向。

15-11如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a 和 b ，导体内通有电流I ，且电流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。

求证导体内部(a <r <b )各点的磁感应强度由下式给出[解] 作图示的安培环路有因为导体电流在横截面上均匀分布，所以()22a b Ij -=π即)(d 220a rj L -=⋅⎰πμL B所以 ra b a r I B )(2)(22220--=πμ 15-12一圆线圈的半径为R ，载有电流I ，置于均匀磁场中，如图所示。

在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与B 的方向相同)。

[解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:F T =2，半圆所受到的磁力F 等效于长为2R 的载流直导线，在磁场中受力：15-13厚为2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j ，求空间磁感应强度的分布。

[解] 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路abcd 则xlj Bl L 22d 0μ==⋅⎰L B所以 jx B 0μ=对板外,取安培环路d c b a '''',则有: 即 d l j l B 220'='μ 所以jd B 0μ=15-14一根半径为R l 的假想平面S ，如图所示。

若假想平面S 可在导体直径和轴O O '所确定的平面内离开O O '轴移动至远处，试求当通过面S 的磁通量最大时平面S 的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。

[解] r ≤R 时：22001d r RI I ππμμ='=⋅⎰l B 22012R r I r B μπ= 即2012RIr B πμ=r ≥R 时： I 02d μ=⋅⎰l BxBxyabcda 'b 'c 'd 'I r B 022μπ= 即rIB πμ202=当假想平面的内边界离O O '轴x 时令0='φ 01224d d 020=+⋅+⋅-=Rx Il x R Il x πμπμφR x 2151-=R x 2152+-=(舍) 对φ求二阶导数 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=20202222d d R x Il R Il x πμπμφ<0 因此R x 2151-=时，有最大值。

15-15将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为1B 和2B (如图所示)。

求载流平面上单位面积所受磁力的大小和方向。

[解] 由图可知，2B >1B ，说明载流平面的磁场B 的方向与所放入的均匀磁场0B 的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。

设面电流密度为j 。

则由此二式解得()21021B B B +=， ()1201B B j -=μ在载流平面上沿电流方向取长为h 、宽为d l 的条形面积，面积d S =h d l ，面积上电流d I =j d l ，此电流受到的磁力大小为载流平面单位面积所受磁力大小为 方向为垂直于平面向左。

15-16电流为2I 的等边三角形载流线圈与无限长直线电流1I 共面，如图所示。

求： (1)载流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c 并垂直于纸面方向的直线为轴)。

[解] ab 边到长直导线的距离为d ，电流1I 在ab 边上的磁场为方向垂直纸面向内。

此磁场对ab 边的作用力为 方向向左。

在ac 边上任取一l d ,设l d 到1I 的距离为x ，则1I 在l d 处产生的磁场为xIB πμ210=， l d 受到的磁力B l F ⨯=d d 2I ，又因为B l ⊥d所以0210230cos d 2d d xx I I lB I πμ==F ，所以)231ln(3d 3102310ac d lI I x x I I F l d d+==⎰+πμπμ，方向如图所示。

xxdl同理，可求得ac bc F F =，方向如图所示。

则线圈受到的合力为：0y =∑F ，方向沿x 轴负向。

（2）因为n P S I d d M = n 的方向垂直直面向外 所以B P ∥M d又因为B P M ⨯=M d d ，所以0d =M ，所以0=M15-17半径为a 、线电荷密度为λ(常量)的半圆，以角速度ω绕轴O O '''匀速旋转，如图所示。

求：(1)在点O 产生的磁感应强度B ； (2)旋转的带电半圆的磁矩m P 。

[解] （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量θλλd d d a l q =⋅=旋转后形成电流元θπωλπωd 2d 2d d a q q n I ==⋅= 由圆环()2322202xR IR B +=μ得 θsin a R = θcos a x =8d sin 4d 0020λωμθθπλωμπ===⎰⎰B B 方向向上 （2）因为n m S I P =， θθωλθπd 2sin d sin SdI d 2322m a I a P ===4d sin 2d 2sin 302323m a a a P πωλθθωλθθωλππ===⎰⎰，方向向上。

15-18有一均匀带电细直棒AB ，长为b ，线电荷密度为λ。

此棒绕垂直于纸面的轴O 以匀角速度ω转动，转动过程中端A 与轴 O 的距离a 保持不变，如图所示。

求：(1)点O 的磁感应强度0B ； (2)转动棒的磁矩m P ； (3)若a >>b ，再求0B 和m P 。

[解] (1)均匀带电直棒AB 绕O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。

在均匀直棒上取一微元r dq d λ=,等效电流为：r q I d 22d d πλωπω==它在O 点的磁感应强度aba r r B ba a+===⎰⎰+ln4d 4d 0000πωλμπλωμB （0>λ，方向垂直直面向里）(2)r r I r p d 21d d 22m λωπ== (3)若a>>b ，则有：a ba b a ≈+ln ， a q a b B πωμλπωμ44000== 与带电粒子b λ情况相同 与点电荷的磁矩相同15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为2R 和1R ，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a (2R >a +1R >21R )，如图所示。