角接触球轴承打滑行为的非线性动态模型Qinkai Han , Fulei Chu.The State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China.摘要：用一个三维非线性动态模型来预测复合载荷组合条件下角接触球轴承的打滑行为。

该模型考虑了钢球的自转和公转引起的离心力和陀螺效应、钢球与内外圈之间的赫兹接触变形、钢球与保持架之间的非连续接触以及弾流动体润滑。

通过对试验结果的比较，验证了该动态模型正确性。

在此基础上，讨论了在复合载荷作用下，轴承钢球滑动速度随时间和位置的变化规律。

该模型表明，径向载荷的变化将使钢球在内外圈之间的的滑动速度产生波动，对低负载区域的钢球影响更大。

增加径向负荷将大幅增加滑移速度的幅度和范围，使打滑更加严重。

当钢球在低载区时，大的滑动速度会使轴承和润滑油的温度升高，加剧轴承磨损，缩短轴承的使用寿命。

因此，在旋转工件的设计和检测中应考虑径向载荷。

1.导论：角接触球轴承是许多旋转机械的核心支撑部件，其动态特性对整个设备的使用性能、运行可靠性和使用寿命起着决定性的作用。

轴承在运行过程中，滚道应为钢球提供足够大的摩擦力和摩擦力矩，以确保钢球处于纯滚动状态。

否则，滚动体和内、外滚道之间可能会出相对滑移。

随着现代旋转机械的高速化、重载化，轴承的滑动将使轴承和润滑油的温度升高，从而加速轴承磨损。

如果轴承早期就开始打滑，它可能会导致轴承寿命减少，甚至更严重的事故。

因此，当前准确预测滚动轴承的打滑行为并提出防滑设计准则是很重要的问题。

哈里斯[1,2]已经在这方面做了开创性的工作。

基于沟道控制理论和准静态学，哈里斯[1,2]建立了用于高速角接触球轴承的滑行预测模型。

该模型考虑了滚动体的各种受力情况（包括：接触力，摩擦力，流体力和离心力等），还考虑了轴向载荷、旋转速度、滚动体的数量对打滑的影响。

Liao and Lin[3]在几何约束条件和受力平衡中考虑了每一个滚动体受到的接触力和每一个滚动体的接触角。

希拉诺[4]打滑的评判标准中分析了在轴向和径向负荷下钢球和滚道的打滑。

此外,他们还研究了热效应引起的钢球滑动[5]。

基于准动态分析，Jiang et al.[6], Cui et al.[7] and Yuan et al.[8]等提出了估计防止轴承打滑的最小轴向载荷的经验公式。

最近，Chen et al. [9,10]提出推力球轴承在固体润滑条件下的准静态模型。

该理论构想了一种用于准确界定钢球与内外圈之间相对运动的滑动比和旋滚比。

它表明，钢球与滚道的密切接触引起的滑差使滑动和接触力分布不对称。

Xu et al.[11]建议用预载分析法作为球轴承的滑动准则。

实验结果表明采用最佳预紧力的轴承具有良好的温度特性。

Chen et al [12]等人对高速旋转的轴承进行准静态打滑分析，发现钢球自转挤压油膜对打滑和轴承疲劳寿命有不利的影响。

上述的大多数分析是在稳态条件下采用静态/动态模型来研究打滑行为和防滑判据。

实际上，滚动轴承上经常被施加动载荷，滚动体和保持架之间的接触和碰撞是不可避免的。

这些因素往往造成滑移随时间和空间的变化。

显然，基于静态模型的稳态分析很难准确地描述和预测滚动体打滑的行为。

因此，发展动态分析方法在当前得到了广泛关注。

采用动态法，古普塔[13]首先建立微分方程来模拟一个推力球轴承在弹流润滑条件下钢球的瞬时运动。

奥斯滕森等人[14]建立了轴承运动的动力学模型，并对轴承运动进行了仿真模拟，并与测量结果进行比较。

他们发现，卸载区的滑动主要受局部润滑剂分布状态和滚子在轴承中的位置的影响。

Imado[15]提出了一个霍尔元件检测法来检测钢球在轴承中的运动。

最近，米尼安·拉尼阿多哈科梅等人[16]利用有限元法建立了滚动轴承的动态接触模型。

动态接触模型应用在钢球与滚道打滑的研究中。

Jain和亨特[17]忽略离心力和钢球接触角引起的陀螺力的影响，提出了一种应用在风力机传动系统高速输出轴上的轴承的动力学模型。

塞尔瓦拉和marappan [18]研发了一种圆柱滚子轴承试验台，用于测量各种工况下运行的轴承元件的速度，在实验结果的基础上讨论了工作参数对圆柱滚子轴承的影响。

Tu et al.[19]以滚动体与滚道、保持架之间的接触力和摩擦力，以及滚动体的离心力为基础建立了研究滚动轴承加速时打滑的分析模型。

对轴承打滑的动态问题的一些研究工作已在目前的文献中提出，但研究对象仅限于推力轴承（只适用于轴向载荷）和深沟轴承（仅适用于径向载荷）。

角接触轴承在轴向和径向载荷作用下（复合载荷条件下）的研究较少受到关注。

高速度和复合载荷工况会使角接触轴承的滚动元件具有三维运动，而推力轴承和深沟轴承的运动可以简化为二维运动。

因此，本论文提出分析角接触球轴承打滑行为的动力学模型。

首先，考虑了内圈的五个自由度，对轴承的载荷分布和每个滚动体的接触力和内/外接触角进行了分析。

根据赫兹接触理论和弹流动力润滑，确定了钢球与内/外滚道之间的摩擦力和摩擦力矩随时间的变化规律。

考虑到钢球和保持架之间的不连续接触，利用欧拉方程建立了角接触滚动轴承的三维非线性动力学模型。

本论文给出了模型的求解方法和过程并通过与实验结果的比较对其进行了验证，在此基础上，讨论了在复合载荷作用下，轴承的滑动速度随时间和空间的变化规律。

最后，得出了一些结论。

2、角接触球轴承载荷分布分析通过对角接触球轴承载荷分布的分析，获得了三种类型的参数，包括接触力，赫兹接触面积的尺寸和钢球和内外圈之间的接触角。

钢球摩擦力矩的大小和方向可以通过这些参数分析计算得到。

因此，载荷分布分析在打滑分析之前进行。

外圈固定，内圈以恒定的角速度ωi旋转。

两个坐标，其中一个(X-Y-Z) 固定在内圈的旋转中心线上，另一个（x-y-z）随Z轴旋转，如图1所示。

x-y-z的中心与球的质心重合。

忽略了内圈的旋转自由度，重点考虑余下的五个自由度（包括：三平移和两旋转）。

自由向量用表示。

作用于内圈的外力向量用Fin=(F X in;F Y in; F Z in; M X in; M Y in)T表示。

第i个球相对于旋转坐标x-y-z有三个旋转角速度（ωxj;ωyj;ωzj）和一个基于固定轴Z的滚道旋转速度Wcj。

在时间t，第j个球的位置角用下公式表示：图1。

轴承坐标示意图。

ϕcj =ϕ0+ωcj +2π/Nb(j-1),其中ϕ0为初始位置角，ωcj 为滚道角速度，Nb为钢球的数量。

一般情况下ϕ0=0，外力会使内圈移动。

因此，第j 个球内圈沟曲率中心的位移，包括沿y,z轴的移动和沿x轴的转动，用uj=（yj; zj; θxj)T表示。

在小挠度的假设下,uj可以通过坐标变换得到uj=TjUin (1)。

其中Tj是变换矩阵，可表示为其中Ri=0.5de+（rgi-0.5db)cosβ0表示由内到槽曲率中心的内轴旋转中心的距离，de是轴承的节圆直径，rgi是沟曲率半径，db是钢球的直径，β0是公称接触角。

没有负载时，钢球与内外滚道之间没有接触变形。

由于偏转是零，所以球的中心和内外滚道的沟曲率中心位于一条直线，如图2虚线。

钢球的内外接触角是相同的，等于公称接触角β0。

施加负载后，内圈滚道将首先移动，然后钢球也因接触变形而移动。

平衡状态，如图2所示的实心线，可以表示钢球和内外滚道之间的状态。

因为外圈是固定的，所以它的沟曲率中心保持不变。

根据公式（1）内圈沟曲率中心的位移可以用 (yj;zj)表示。

钢球中心的位移是未知参数可用 (vjy;vjz)表示。

因为负载的影响，钢球与内外沟道的接触角变的不相等。

外接触角减小为βoj，而内接触角增大为βij。

在偏转前，内圈沟曲率中心到钢球质心的距离为 Lij。

偏转后，距离变得 lij，如图2所示。

同样，外圈沟曲率中心到钢球质心的距离从Loj（偏转前）变为loj（偏转后），对于给定的内外沟曲率半径(rgi; rgo)，有Lij=rgi-0.5db和Loj=rgo -0.5db。

根据图2的几何关系，可以获得以下公式：荷载分布分析应满足上述的四个几何方程。

图3给出了第j个钢球的受力情况。

在图中， Fcj 和 Mgj表示由于球的自转和公转引起的离心力和陀螺力。

图2。

轴承前后挠度的几何关系图3，第j钢球受力图。

[20]显然有和 mb和Ib为钢球的瞬时质量和惯性。

ωs和ωc为自转角速度和沟道角速度，αj 为自转轴和Z 轴之间的夹角。

对于纯滚动轴承，有钢球与内、外滚道之间的接触力用Qij和Qoj表示，根据赫兹接触理论，有Qij=χijKiδij3/2和Qoj=χojKoδoj3/2。

Ki和Ko为钢球与内外滚道的接触刚度系数，δij和δoj 为钢球与内外滚道的变形量。

从上面的几何分析中可以得到δij =lij-Lij和δOj=loj- Loj。

当δij，δoj>0；χij =1,χoj=1。

δij,δoj≦0时；Χij=0，χoj=0 。

接触刚度系数通过接触区材料性能和几何尺寸的确定，即 K=，其中E’=E/(1-ν2)表示的有效弹性模量,E为材料的弹性模量，ν为泊松比，R为等效曲率半径，κ为椭圆率，ξ和ϵ为椭圆第一类和第二类积分。

这些参数的表达式从哈里斯和kotzalas [ 20 ]的论文中可以得到，接触刚度系数Ki和Ko可以通过以上公式求解得到。

在负荷分布分析，忽略了x水平的摩擦力，陀螺力矩由y-z平面的瞬时摩擦力产生，如图3所示。

哈里斯和kotzalas [20]在他们的论文中首先对钢球进行这样的受力平衡分析。

Λij和λoj表示钢球与内外沟道之间的摩擦系数。

在这里对λij和λoj都设置初始值为1。

从图3可以得到力的平衡方程如下：第j个钢球与内沟道之间的接触力和摩擦力的方向与图3所示的方向相反。

把这些力等效到内沟曲率中心可以得到得到钢球与内滚道的力平衡方程上述研究表明在未知参数负荷分布的位移分析中可以用该钢球与内滚道的模型(vjy，vjz和Xin，Yin，Zin，θX in，θY in)代替进行计算。

(公式(7)–（10）)是一组非线性代数方程，可以用Newton-Raphson方法迭代求解。

该非线性方程的维数是2Nb+5.得到这些未知参数后，每一个钢球的接触力（Q ij，Q oj）和内外接触角（βij；βoj）可以通过公式（1）和（3）-（6）计算得到。

3.施加在球上的摩擦力矩和力矩运行中滚动轴承，内外沟道对钢球产生摩擦力和摩擦力矩。

弹流润滑条件下的钢球和滚道之间的接触与图4所示。

图中的x’，y’轴分别表示接触椭圆的主要和次要轴，Z’表示垂直于接触椭圆的轴。

根据赫兹接触理论，接触应力在接触区为椭圆分布，并可以表示如下：其中， PHj 为最大接触应力，a和b为接触椭圆的长半轴和短半轴。