背面节点上施加轴向力，将轴向力平均到背面每 个节点上。径向力在轴承的实际状态中通过轴传 到内圈上，以集中力的形式施加在内表面龟ｌｌｆ句线 的节点上。 ２．４求解
建模加载后进入时问预测，用ＴＩＭＳＴ命令估 计计算所需时间，设置好时间控制及分析控制；打 开线性搜索与预测器。
３ 计算实例
以角接触球轴承Ｂ７００５为例来说明经典理论 与有限元方法在轴承接触特性分析上的应用，并 以此比较各自特点。轴承参数见表１。轴承的材 料参数为：弹性模量Ｅ＝２．３２×１０５ ＭＰａ，泊松比 ｙ＝０．２８３，密度Ｐ＝７ ６６０ ｋｇ／ｍ２；轴承所受轴向力 Ｆ。＝１３７．３ Ｎ，径向力Ｆ，＝１５７．７ Ｎ。
钢球
ａｉ／ｍｍ
编号
口ｅ／ｍｍ
ｂｌ／ｍｍ
６ｃ／ｒａｍ
盯ｉ／ＭＰａ
６ｒｅ／ＭＰａ
Ｑ瞵８７１ １ ０．４１３４３ ｎ３丝９ｌ
Ｑ０７４Ｚ｝０ １ ２２７．国１ ００ ｌ １∞．０８４ ４０
２ ｏ．４００５７ ｏ．３１２８７ Ｑ０５４ １３４ ０．０７１观１ １ １８９．５ｌｌ ９０ ｌ １４＆２９｜２∞
３ ｏ．３７６ ３０ ｏ．２９３９ｌ Ｑ０５０ ８５３ Ｑ０６７ ５６３ ｌ １１７．４刀３０ ｌ Ｏ尬８２７ ００
ｂａｌｌ ｂｅａｒｉｎｇ；ｃｏｎｔａｃｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；Ｈｅｒｔｚ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｃｏｎｔａｃｔ ｔｈｅｏｒｙ；ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ
机床主轴用角接触球轴承，具有良好的速度 性能和支承刚性，可以同时实现轴向和径向无间 隙精密旋转…。其结构简单，易于维护，在高咖 值工况中结合先进的润滑和冷却技术，具有广泛 的应用。球轴承依靠沟道和钢球的楣互接触来传 递与支承载荷，通过接触分析，掌握角接触球轴承 接触面的工作状况，为改进设计和制造加工工艺， 提高承载能力及轴承系统的稳定性和可靠性提供 了有效的理论依据忙Ｊ。
表１轴承几何参数
钢球 数ｚ
钢球直径 内沟曲率 外沟曲牢 外Ｉ氇Ｉ直径 内嘲“径
Ｄ－／ｒａｍ 半径系数＿，； 半径系数正 Ｄｃ／ｍｍ
Ｄｉ／ｒａｍ
１４
６．３５
Ｏ．５３
．Ｏ．５５
４７
２５
３．１解析计算 在Ｍａｔｌａｂ中根据解析理论公式（１）一（７）式
用数值与查表法计算出轴承的接触区数据见表２。 表２解析计算结果数据表
图８ 内圈轴向位移矢量云图
图９ 内圈沟道接触应力云图
万方数据
图１０外圈沟道接触应力云图 以上的分析已得出其接触面形状及尺寸大 小，由于钢球与沟道的接触面为曲面，ＡＮＳＹＳ中可 测量接触面长、短轴长度。全轴承分析得到的计 算数据见表３。
工况相同的条件下，两种分析方法季导到的接触特性参数的一致性较好，但各有特点。辩析计算法编程复杂、解
算难度大，只能算出接触区的主参数，而有限元法边界设置十分复杂、技术性强，可仿真轴承接触区的工作状
态，且表达形象、直观。
关键词：角接触球轴承；接触特性；Ｈｅｒｔｚ弹性接触理论；有限元分析
中图分类号：ＴＨｌ３３．３３
式中：Ｌ为轴向载荷分布积分口１；占为轴承载荷分 布系数。
１．２茬承内部的载荷分布
角接触球轴承各钢球的受载情况是不同的
（图２），在Ｈｅｒｔｚ理论中，根据载荷作用方向，角接
触球轴承最大承载钢球的载荷可由（３）式确定ｂｊ
图２轴承内钢球载荷分布图
Ｑ一＝高‰＝丽‰ （３）
式中：＾为径向载荷分布积分‘３１。 轴承内部单个钢球所承载荷可由（４）式确定
ＡＮＳＹＳｌ０．０支持３种接触方式：点一点，点一 面，面一面，每种接触方式使用特定的接触单元。 在以上假定的前提下，使分析能精确接近实际，在 有限元中做三维分析，故分析中轴承钢球与沟道 用面一面接触。 ２．１建模
角接触球轴承机构需考虑内、外圈不同的曲 率半径，形状比较复杂，直接利用ＡＮＳＹＳ内部的 建模功能不能精确地建立轴承的几何模型。通常 在ＣＡＤ软件中建立实体模型，利用ＣＡＤ软件与 ＡＮＳＹＳ的接口导人ＡＮＳＹＳ。同时为保证后续有 限元模型的一致性，在几何建模时只建立一个钢
４ Ｑ３４３ ６３ ０．０６８ ４０ Ｑ０４６４３９ Ｑ∞１ ６９８ ｌ∞ｏ．４３０１０ ９组３５４１ｌ
５ ｏ．３０７ ５２ ｏ．２４０１９ Ｑ０４ｌ姗 Ｑ麟２１４ ９ｌ ３．１８７ ５８ 蹈Ｑ００８ ０７
６ Ｑ２７５ １５ ｏ．２１４９１ ＱＯＢ７ １８５ Ｑ０４９ ４∞ ８ｌ ７．０７８ ２３ ７飘３９０７３ ７ ｏ．２５５ ４３ ｏ．１９９ ５ｌ ＱＯＢ４ ５１９ Ｑ０４５ ８６１ ７５＆５喳笛 ７孤９４５ ９Ｂ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｈｅｒｔｚ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｃｏｎｔａｃｔ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅ－
ｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｖｅｒｙ
（２）静态分析中轴承内罔的定位靠接触对进 行约束，鉴于前面的小接触面，为约束内囤的旋 转，对轴承内圈约束其柱坐标下的切向自由度。
（３）角接触球轴承联合载荷作用下各球既有 轴向位移，又有径向位移，但各球的径向位移大小 不等，静态分析中，约束球中心节点柱坐标下的切 向自由度。
（４）为了模拟轴承轴向预紧力的作用，在内罔
且具有比较高的精确度［６’８】。本文应用经典Ｈｅｒｔｚ 弹性接触理论和ＡＮＳＹＳ有限元分析来求解角接 触球轴承的Ｈｅｒｔｚ接触问题。
１接触特性的解析计算方法
力平衡和弹性力学理论是求解角接触球轴承 接触问题最基础的求解依据。Ｈｅｒｔｚ弹性接触理 论在特定假设下应用弹性力学，可以求得比较精 确的接触应力分布，而且其表达形式简单，至今仍 然是滚动接触应力计算的主要方法阳。５】。
ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓａｎｌｅ ｗｏ＆ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｂｏｔｈ ｍｅｔｈｏｄｓ ｈａｖｅ ｔｈｅｉｒ ｏｗｎ ｆｅａｔｕｒｅｓ．Ａｎａｌｙｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｉｎ
ｐｗｇｒａｍｍｉｎｇ，ａｎｄ ｃａｎ ｏｎｌｙ ｗｏｒｋ—ｏｕｔ ｔｈｅ ｋｅｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｎ ＦＥＭ，ｔｈｅ ｓｅｔｕｐ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｓ
图５接触对与接触单元网格模型 ２．２接触设置
ＡＮＳＹＳ通过在接触面上覆盖接触单元 Ｔａｒｇｅｌ７０和Ｃｏｎｔａｌ７４的方式来建立接触，每个接 触对赋予相同的实常数。 ２．３边界条件
（１）轴承通常安装在刚性很大的轴和轴承座 上，约束外圈外表面上的节点全部自由度；耦合内 圈装配面所有节点在笛卡尔坐标下的玑，玑自由 度，但不耦合以，这样就可以模拟轴承内圈在联合 载荷作用下的倾斜。忽略装配应力、表面摩擦力 等的影响。
Ｑ妒＝Ｑ一［１一去（１－ｃｏｓ妒）］３尼
（４）
式中：沙为与受载最大的钢球中心夹角。 １．３接触尺寸与接触应力的计算
轴承钢球与沟道接触，接触区为一椭圆（图 ３），根据Ｈｅｒｔｚ接触理论，接触椭圆长半轴、短半 轴、最大接触应力、弹性变形量分别为
弘√专ｅ。
（５）
扛盯√一茜ｅ。＝某痢
（６） （７）
式中：ｅ。，ｅ。为与Ｈｅｒｔｚ接触系数、材料相关的系数， 可查表得‘３１；Ｑ为钢球的载荷；∑ｐ为主曲率和。
图３接触尺寸及应力分布图
２接触特性的有限元仿真过程
有限元求解接触问题是一种高度非线性过 程，其问题的求解存在两个较大的难点：
（１）在求解问题之前，不知道接触区域，表面 之间是接触或分开是未知的、突然变化的，这取决 于载荷、材料、边界条件和其他因素。
（２）大多的接触问题需要计算摩擦，摩擦使问 题的收敛性变得困难。
ｖｅｒｙ ｃｏｍｐｌｅｘ．ｗｈｉｃｈ ｎｅｅｄ８ ｇｏｏｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｂｕｔ ＦＥＭ ｃａｌｌ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｓｔａｔｅ ｖｉｓｕａｌｌｙ ａｎｄ ｏｂｄｏＩｌ８ｌｙ ｉｎ ｔｈｅｉｎｇ．
ｗｏｒｄｓ：ｍｌ殍妇ｃｏｎｔａｃｔ Ｋｅｙ
联合作用下，钢球与沟道之间将产生接触变形使
原始接触角发生变化（图１）。Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和 Ｐａｌｍｇｒｅｎ已推导出轴承受载后因弹性变形所引起 的接触角变化ＣｓＪ。
｜Ｄ
图１轴承内、外圈接触角 首先假定轴承最初只承受轴向载荷Ｆ。，可由 （１）式确定只承受轴向载荷的接触角ａ。。
罢“＋赤（≤≥严 （１）
式中以为内、外圈沟道沟曲率半径系数；ａ为初
万方数据
·６·
＜轴承）２００９．Ｎｏ．１ １
球（图４）。建有限元模型后，再利用ＡＮＳＹＳ的复 制功能完成实际模型。
图４套圈与钢球有限元模型图 ＡＮＳＹＳ中定义两物体接触是通过设置两接触 体的接触面来实现的，为了减少后续有限元模型 的单元数，以节省出更多的计算机资源来精确地 求解接触问题，对轴承沟道面与球面接触的范围 与面积参考经典理论计算的结果，分割出小的接 触面（图５），并在划分出的接触面上进行密化（实 体所用单元为ＳＯＬＩＥＤ２）。
经典解析理论计算与有限元软件分析是当今 求解轴承接触问题的两种典型的工程手段。Ｈｅｒｔｚ 弹性接触理论是经典理论求解球轴承接触参数的 核心口－ｓｌ。随着ＣＡＥ技术的成熟，有限元技术被 广泛应用于轴承的分析中，其不仅具有直观性，而
收稿日期：２００９—０２—１０；修回日期：２００９—０５—１６ 基金项目：广东省自然科学基金博士启动基金资助项目 （０４３００２０８）
堡塑！Ｑ鲤二塑垒兰 轴承２００９年１ １５Ｉ
ＣＮ４１一１１４８／７Ｉ．Ｈ Ｂｅａｒｉｎｇ ２００９，Ｎｏ．１１
角接触球轴承的静态接触分析
陈署泉，肖曙红，杨士铁
（广东工业大学机电工程学院，广州５１０００６）