江西省临川二中2014届下学期高三年级一模考试数学试卷（理科） 有答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知复数i z x y =+(,)x y R ∈，且28i z =（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．22i + B ．22i -+或22i -- C ．22i -- D ．22i +或22i -- 2．若集合S 满足对任意的,a b S ∈，有a b S ±∈，则称集合S 为“闭集”，下列四个集合中不是“闭集”的是（ ）A ．自然数集NB ．整数集ZC ．有理数集QD ．实数集R 3．程序框图如下图所示，当0.96A =时，输出的k 的值为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．254．若从区间(0,2)内随机取两个数，则两个数之比不小于4的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．18 D ．785．已知向量a 、b 的夹角为4π，且4=a ，1()(23)122+-=a b a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．4C ．D ．1 6．已知等差数列{}n a 的公差0d >，若1220152015m a a a a +++=()m N +∈，则m =（ ）A ．1007B ．1008C ．2013D ．20147．已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球面上，6AB =，BC =锥O ABCD -的体积为（ ）A ．B C ． D ．8．若过椭圆22122:1x y C a b +=(0)a b >>上一点P ，作线段PF 与圆2:C 222()39c b x y -+=（其中222c a b =-）相切于点Q ，点F 为1C 的右焦点，且2P Q Q F =，则椭圆1C 的离心率e 为（ ）A ．3 B ．23 C ．2D ．129．当a R ∈时，函数的图象可能是（ ）10．以下有五个结论：①某校高三（A ）班和高三（B ）班的人数分别是,m n （m n <），某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分小于2a b+； ②若x 1，x 2，…，x 10的标准差为a ，条件:p 3λ=，:q 1210,,,x x x λλλ的标准差为3a ，则p 是q 的充要条件；③从总体中抽取的样本1222(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则回归直线y =bx a +至少过点1222(,),(,),,(,)n n x y x y x y 中的某一个点；④已知随机变量ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=；⑤若一随机试验的结果只有A 和B ，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 A 出现0 A 不出现，则X 的方差D (X )等于p (1－p )；其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ． 2 个C ．3 个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、选做题（请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．）11．（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，若120ρρ+=，12θθπ+=，则点111(,)M ρθ与点222(,)M ρθ（ ）A ．关于极轴对称B ．关于直线2πθ=对称 C ．关于极点对称 D ．重合A ．3-B ．72-C ．92- D ．5-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中最大面积是__ _．13．将7个颜色不同的乒乓球放到编号为1，2，3的三个盒子中，已知各盒子内的乒乓球个数不小于其编号数，则不同的放法种数为________．14．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对于任意的x R ∈，均有1'()2f x <，则关于x 的不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为__ __． 15．令(1)()l o g (2)n f n n +=+()n N +∈，如果对于()k k N +∈满足(1)(2)(3f f f f k ⋅⋅⋅⋅为整数，则称k 为“优数”，那么区间[1,2014]内所有“优数”之和为 ．四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图像如图所示，,M N 是这部分图像与x 轴的交点，函数图像上点R 满足RM =RN =cos RMN ∠=（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若点M 的横坐标为1，求函数()f x 的解析式并求出4()3f 的值．17．（本小题满分12分）临川二中学生足球队假期集训，集训前共有6个足球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第二次训练后新球的个数至少为2的概率；（2）若第一次训练恰取出一个新球，求第三次训练后新球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列并求出其期望E ξ． 18．（本小题满分12分）将各项均为正数的数列{}n a 排成如图所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中下标小的数排在左边），n b 表示数阵中第n 行第1列的数．已知数列{}n b 为等比数列，且从第3行开始，各行构成公差为d 的等差数列，11a =，1217a =，1834a =．（1）求数阵中第m 行第n 列的数(,)A m n （3m ≥，表达式用,m n 表示） （2）求2014a 的值．19．（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，ABCE 为菱形，∠BAD＝120°，PA ＝AB ，G ，F 分别是线段CE ，PB 上的动点，且满足PF PB＝CG CE＝λ∈(0，1)．（1）求证：FG ∥平面PDC ；（2）求λ的值，使得二面角F －CD －G 的平面角的正切值为23．20．（本小题满分13分）在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为12，通径长为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，过点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，1I 、2I 分别为12F BF ∆、12F AF ∆的内心，延长2BF 与椭圆交于点M ，求四边形1221F I F I 的面积与2AF B ∆的面积的比值；（3）在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知0>a ，函数a x xax f -+=ln )(． （1）若对于任意],1[2e x ∈，23)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求方程[()]f f x x =解的个数．【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．11． (1) A ； 11． (2) B三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．6 13．455 14．(0,2) 15．2026 四、解答题：本大题共6个题，共75分．16．（1）在RMN ∆中，2222cos RN RM MN RM MN RMN =+-⋅⋅∠解得：8MN =（舍去2-），即函数()fx 的最小正周期为8（4分） （2）由于点M 的横坐标为1，24T ππω==，则()sin (1)4f x A x π=-， （6分） 点(4,2)R 代入上式得：A =()(1)4f x x π=- （8分）故4()1312f π== （12分）17．解：（1）设两次训练后剩下的新球个数为X ，则(2)(3)(2)P X P X P X ≥==+=1102110233333324222266669(2)25C C C C C C C C P X C C C C ⋅⋅⋅⋅==⋅+⋅= （3分） 20233261(3)25C C P X C ⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭故2(2)(3)(2)5P X P X P X ≥==+==（5分） （2）由于第一次训练恰取出一个新球，故此时剩下两个新球，四个旧球，则0,1,2ξ=故021102111524242422226666128(1)225C C C C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅⋅==⋅+⋅=， （7分） 20224264(2)25C C P C ξ⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭，即61(0)1(1)(2)225P P P ξξξ==-=-==，（10分） 故分布列为：因此9E ξ=（12分） 18．解：(1)由题意可知：111b a ==，51117b a d ==-，616342b a d ==-，故43421717d q d q d-⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，解得：21q d =⎧⎨=⎩，即12n n b -= （3分） 故1(,)21m A m n n -=+- （6分） (2)令2014(,)a A m n =，则(1)(1)201422m m m m -+<≤，且m N +∈，解得63m = （8分）故61n =，故622014(63,61)260a A ==+（12分）19．解：（1）证明：方法一：如图以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，其中K 为BC 的中点，不妨设PA ＝2，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，1,0)B -，0)C ，(0,2,0)E ，(0,4,0)D ．由PF CGPB CEλ==，得,,22)F λλ--，,1,0)G λ+，(2,22)FG λλ=-+-+，（2分）设平面PCD 的法向量0n =(x ，y ，z )，则00n PC ⋅=，00n PD ⋅=，得20,0420,y z x y z ⎧+-=⎪⎨⋅+-=⎪⎩可取0n 1，2)，于是0n 0FG ⋅=，故0n FG ⊥， 又因为FG ⊄平面PDC ，即FG //平面PD ．（6分）(2) (3,1,22)FC λλ=+-+，(3,0)CD =，设平面FCD 的法向量1111(,,)n x y z =，则10n FC ⋅=，10n CD ⋅=， 可取1(3(1),1,2)n λλλ=---，又2(0,0,1)n =为平面G C D的法向量． （9分）由1212|||cos |||||n n n n θ⋅=⋅，因为tan θ＝23，cos θ，所以281450λλ-+=，解得12λ=或54λ=(舍去)，故12λ=．（12分） 方法二：(1) 证明：延长BG 交CD 于Q ，连PQ ，BE ．得平行四边形BEDC ，则BE // CQ ， 所以::CG GE QG GB =．又::PF FB CG GE =，则::QG GB PF FB =， 所以FG //PQ ． （4分） 因为FG ⊄平面PCD ，PQ ⊂平面PCD ， 所以FG //平面PCD ． （6分） (2)解：作FM ⊥AB 于M ，作MN CD ⊥于N ，连FN ． 则FN CD ⊥，FNM ∠为二面角F CD G --的平面角．1FM FBPA PBλ==-，不妨设2PA =，则2(1)FM BM λ=-=，2MN λ=-， （9分）由 tan FM FNM MN ∠=得 22(1)32λλ-=-，即 12λ=． （12分） 20．解：（1）由题意可知：12c e a ==，通径为223b a=，解得：2a =，b =故椭圆C 的方程为：22143x y += （3分） （2）由于1I 、2I 分别为12F BF ∆、12F AF ∆的内心，根据内心的性质和等面积法可知：点12F BF ∆内切圆的半径1212111221()2F BF F BF S S ra cF B F F F B ∆∆==+++，同理可得：点12F AF ∆内切圆的半径1212211221()2F AF F AF S S r a cF B F F F B ∆∆==+++ （5分）故1221112122212121212121()2123F I F I F I F F I F AF BF BF F AF F BF F AF r r cS S S c S S S S S a c ∆∆∆∆∆+⋅+====+++ （7分）（3）若存在点P ，使得PM PB ⋅为定值，设点0(,0)P x ，若直线BM 的斜率不存在，BM l 的方程为：1x =，33(1,),(1,)22B M -，则209(1)4PM PB x ⋅=--； （8分） 若直线BM 的斜率存在，BM l 的方程为：(1)y k x =-，点11(,)B x y ，点22(,)M x y联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：2222(43)84120k x k x k +-+-= 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-则2222212120012120120()(1)()()PM PB x x x x x x y y k x x x k x x k x ⋅=-+++=+-++++整理可得：2220002(485)31243x x k x k λ--+-=+（λ为常数） （10分） 则222000(4854)31230x x k x λλ---+--=对k R ∀∈恒成立故200204854031230x x x λλ⎧---=⎨--=⎩，解得：011813564x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， （12分） 经验证直线BM 的斜率不存在时，209135(1)464PM PB x ⋅=--=- 因此存在点11(,0)8P ，使得PM PB ⋅为定值13564- （13分） 21．解：（1）由],1[2e x ∈得]2,0[ln ∈x ①当2≥a 时x a x ax f ln )(-+=，01)(2<--='x xa x f ，∴)(x f 在],1[2e 上递减， ∴232)1()(max ≤==a f x f ，∴43≤a ，此时a 不存在； （2分） ②当20<<a 时 若a e x ≤≤1时，x a xax f ln )(-+=由①得)(x f 在],1[a e 上递减， ∴43,232)1()(max ≤∴≤==∴a a f x f ，此时430≤<a （3分） 若2e x e a ≤<时x xa x f a x x a x f 1)(,ln )(2+-='∴-+=令0)(='x f 得a x =，又x e x g x -=)(在)2,0(递增，故1)0(=>-g x e x∴a e a <，当2e x e a <<时0)(>'x f ,∴)(x f 在(]2,e e a 递增， （4分） ∴232)()(22max ≤-+==a e a e f x f )1(222-≥e e a ，2)1(222<-e e ，∴2)1(222<≤-a e e ，又43)1(2121)1(2222<-+=-e e e ， ∴43)1(222≤≤-a e e 综上知，实数a 的取值范围⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-43,)1(222e e （6分）（2）当1a =时，11ln ,01()ln 11ln 1,x x e xf x x x x x ex ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎪+-≥⎪⎩，(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x ↓；(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x ↑2211,0'()11,x e x x f x x e x x⎧--<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()f x 的图像为： 令()()g x x f x =-，则()g x 在(0,)e 上单调递增，且()0g e <，1()0g e<，故()0g x =在(0,)e 存在唯一零点1 当x e >时，211'()10g x x x=+->且()0g e >，故()0g x >即()0g x =在(,)e +∞上无零点则()y f x =有且只有唯一的以及不动点1x =，即1x =也是[()]f f x x =的解 （8分） 若x m =是方程[()]f f x x =的解，则()(())()f m nf f m f n m =⎧⎨==⎩，则x n =也是方程[()]f f x x =的解， 若m n =，则点(,)P m n 在直线y x =上；若m n =，则点1(,)P m n 和点2(,)P n m 关于y x =对称 （10分） 令()(())h x f f x x =-，()u f x =，则'()'()'()1h x f u f x =⋅- ①当(1,)x e ∈时，221111'()()()1()[()]h x x x f x f x =--⋅--- 221111()()1()[()]x x f x f x =+⋅+-3241[()]x f x ≥-⋅（当且仅当()1x f x ==取等号）令1()()1ln h x xf x x x x ==+-，1'()ln 0h x x =-<，故11()(1)2h x h <=则324110[()]x f x ->->⋅，即'()0h x >，()h x ↑，而(1)0h =，则()(())0h x f f x x =-=在(1,)e 上无解； （12分） ②当(,)x e ∈+∞时，2222221111(1)(()1)[()]'()()()1()[()][()]x f x x f x h x x x f x f x x f x ---=-⋅--=2222222222(()1)[()](()1)[()]((()1)[()])[()][()][()]x f x x f x x f x e x f x x f x e f x x f x x f x x f x ----⋅--⋅<<= 由于2()1[()]0f x e f x --⋅<，故'()0h x <，()h x ↓，而()20h e =>，lim ()x h x →+∞=-∞（本结论可通过构造2()()2xh x f x =-来证明） 则()0h x =在(,)e +∞有且只有一个解1x ，由于点1(,)P m n 和点2(,)P n m 关于y x =对称，则()0h x =在(0,1)上存在唯一的解2x 综上所述，[()]f f x x =有3个解123,,x x x ，且满足12301x x e x <<=<< （14分）。