有限元课程总结一三节点三角形单元1位移函数移函数写成矩阵形式为：确定六个待定系数a4v玉＞矩阵形式如下：J“= TV, 0 Nj 0 N m bJ _ 0 TV, 0Nj 02单元刚度矩阵的计算1）单元应变和节点位移的关系由几何方程可以得到单元的应变表达式,5 6 > = ----------------- b .「2A '7厂 fMgY — A”——，Y CdAs _u i匕・宀=[N]{5丫V7u i8xdvdu dv----- 1 ----dy dxJ_2ACCibj 0 0Cj C J b Ju jV J2）单元应力与单元节点位移的关系[KJ = [B r ]T [D][B s ]b r b s + —c r c s t s 2 * s“也+与仏(T = i,jjn;s = i,jjn)3) 单元刚度矩阵卩心][K“] [K]J [K }i ] [K 〃][心][K mj ]3载荷移置1）集中力的移置图3由虚功相等可得，（㈤丁附=（Q YJW ｛P ｝由于虚位移是任意的，则皿｝"=["卩｛鬥2）体力的移置[S M D I B .] =E2A(1-Z /2) Mi Ci %2 z如图3所示,令单元所受的均匀分布体力为｛〃｝=Et4(1 —“2)A地C$ + [DfB i% [K 加 [K如6由虚功相等可得，（{J*r）r{7?r =^}>f[N]r{p}tdxdy{R}e =\\[N]r{p}tdxdy3）分布面力的移置设在单元的边上分布有面力{可二[片了r,同样可以得到结点载荷,{R}e=\[N]T{P}tds4.引入约束条件，修改刚度方程并求解1）乘大数法处理边界条件图3・4所示的结构的约束和载荷情况，如图3・7所示。

结点1、4上有水平方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力（'，匕）。

整体刚度矩阵[K]求出后，结构上的结点力可以表示为:{F} = [K]{5}根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。

用{»}表示结点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程：[K]0}={P}（3.4）这样构成的结点平衡方程组，在右边向量{P}中存在未知量，因此在求解平衡方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）o先考虑结点n有水平方向位移约朿，与n结点水平方向对应的平衡方程为：+ ^2w-1.2V l + …+ ©几_[.2幵-1冷+笛”_1.2必+••co根据支承情况，方程(3-5)应该换成下面的方程:^=° (3-6)对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正：在［K ］矩阵中，第2n ・l 行的对角线元素©s 改为1,该行中全部非对角 线元素改为0；在｛P ｝中，第2n ・l 个元素改为0。

为了保持［K ］矩阵的对称性，将 第2ml 列的全部非对角元素也改为0。

同理，如果结点n 在垂肓方向有位移约束，则(3-4)中的第2n 个方程修改 为，=0在［K ］矩阵中，第2n 行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,如果结点n 处存在一个已知非零的水平方向位移知，这时的约束条件为,0；在｛P ｝中，第2n 个元素改为0。

为了保持［K ］矩阵的对称性，将第2n 列的全 部非对角元素也改为0。

_0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0u {0 卩】V2>0 0 0 0 0An-11 0 0 0 0P” 010 0 0 0* * * * * * ** * **00 *00 *001 0 0 0 0 10 0 0 * * * 0 Er0 T 0 0(3-7)在［K ］矩阵中，第2n ・l 行的对角线元素並12灯乘上一个大数A,向量{P} 中的对应换成人笛“一…—心，其余的系数保持不变。

方程改为，^2n-\,\U \ + ^2n-\,2V \ + ••・+ ^^2tt-\,2n-\U n + ^2n-\.2n Vn +•••匕 ^^2n-\,2n-\ ( 3・8 )A 的取值要足够大，例如取1010c 只有这样，方程(3-8)才能与方程(3-7) 等价。

二四面体单元如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i,j,m,n o 每个结点的位移具有三 个分量u, v,w o 这样单元结点的位移列阵可表示成：1T单元的位移模式采用线性多项式u = cc x + cc^x + oc 3y +q =冬 + oc h x + cr 7 y + ^z 8 nVP = 6Z 9 + 0()乂 + C] 1 y +式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。

将四个结点的坐标(xi, yi, zi)> (xj,yj,zj)、(xm, ym, zm)> (xn, yn, zn)和结点位移(ui, vi, wi)> (uj, vj, wj)>m(um, vm, wm)> (un, vn, wn)代入(2)式可得12个联立方程，解方程组便可求出。

将这十二个系数回代到(2)式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式:二NJ Njl N m I N n l]{3}e= [N]{疔式中，［I ］为三阶单位阵，［N ］为形函数矩阵。

上式即为单元结点位移和单元任意 点位移之间的关系。

1单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。

其中单元的应力列阵：{b} =［»］{£}=辺旬伪=［s ］伪=区—Sj S m - s 十疗式中：［S ］为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：、u Nj iv 0Nj0 00 0 i0 N tt 0 0 N t 0 Jmn0 0 N m 0 0 N nmn{易= [B]{S}e = B t -B jB fn - B tl {5}[讣0 利 0 做 3c 0bi6V c z . 0 4 0 0 5 0o 4b t0 d ： c i 0 b {「A £ ?A&6A 】[s z ]_ [Q]0] —6A 3 V4 6A 》®6O(i,j, m, n)OA^diA Q C,O其中4 — 1 —" - 1 —2 JLl A =左(1 — Q ) —2(1 — “)~ 36(1 -+- ")(1 一 2") 2单刚矩阵 对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚 矩阵其中:[K]e 为单元刚度矩阵山厂=JTfwr [Z)][ B\cbcclyclz { d>}]6{ d>}写成分块形式为g =川可 [D^B^cbcdydz =[J B]T[Z?][J B]V—k inrin式屮子矩阵[Krs]*下式计算可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的, 是一个常数矩阵。

如果将空间弹性体划分为ne 个单元和n 个结点，再经过类似 于平而问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程{穴}=[尺]{£}—k Jikjjkmimmkmn 仏+&(g+d/J+ A 2b r c s A\db + A 2h t .d s+ &c/$ c r c s+ AAd r d s +b r b s ) \d r c s + \c r d sAM + \d r d s + \d r c s£d$ +企如+g)三平面四节点四边形单元矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高位的 模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。

矩形单元1234如图3・1所示，其边长分别为2a 和2b,两边分别平行于x, y 轴。

若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单 元共有8个自由度。

A V4(V4)图3-1 矩形单元1234在局部坐标系中，节点i 的坐标是（i , i ）,其值分别为±1。

取位移模式U =+6Z 3?7 + 心4百77v = a 5 + c z7 + a 疋 r/由几何方程可以求得单元的应变对于平血应力问题阴(5)"2 (6)V2 (^2)>’xy Q—— <-乩一育勿一勿"<=>等 勿一昭旦勿lr 1_ 0丄/莎1 - b[S,EAab{l — /LC )碍(1+ 77。

)M 彳(1+ %)二^々77,(1 + ©)4久(1 +氐) W (l + £o) 严碍(1 + %)"4（〃2b若将单元刚度矩阵写成分块形式则其中的子矩阵可按下式进行计算[k u] = JI[Q ]' [Q][6]山5如果单元厚度t 是常量，则同样，对于平面应变问题，只要将上式屮的E 1- 即可。

四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为[可附十｝四8节点六面体单元分析一、形函数与坐标变换 1）形函数Z, = — （1 T-厂匚厂）• （1 -4- 0三0）• （1 T-疋”疋）k\ 1k\2k\4E/ 1 ・ 22）坐标变换3）位移插值函数与几何矩阵三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量殆[v]・W〕diN\N\0...他0 0 0他N2 0dididx6N\ 00 ON 2 00 dxdxdx0 8N X 00 dN 2 0....... 0 dN.0 16Sy0 06N\ 0dN 2 0沁dzdzdz6N\6N\ 0dN 2 dN 2 06N 塔 0労 dx dxdxdx6N\ 6N\ 0dN 2 8N 2....... 0 沁dzSy dzQydz6N\ 0 6N\ dN 2 0 dN 2 ■ ■■■■■ ■8zdxdzdxdz8x写成矩阵形式有:单元刚度矩阵可以表示为: [K e]= JJJ[Bf [D] [B]・dv = JJJ[BY [D][B]・dxdydzv ev e进一步写成数值积分形式为：k]二£££恢苗训[功・恢护屛）]・卩（的,讣/1側 上I J=1曰单元体力载荷向量可以表示为[dN t ]< 、drdx> —D]・vds _ ly 」vf dN tdN t dt J y.dz 丿底H川町•{/；}" = jjj [N] ■{F h}-\j\drdsdt五 其他常用单元位移函数和自由度平面三角形单元平面应力或应变u = a x+ a 2^+ a 3ri + a^rj2°5+必+如77 +。