第三章摆动力学的可视化描述VISUALIZATION OF THEPENDULUMˊS DYNAMICS3-0 摆的数学描述和计算机仿真：3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：3-4 时间序列和功率谱3-5 吸引盆:3-6分岔图(Bifurcation diagrams)3-0摆的数学描述和计算机仿真：在这一节我们将讨论下面4个问题：1、驱动摆（driven pendulum）的运动方程：2、产生混沌运动条件。
3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。
4、一个有趣的问题。
1、驱动摆的运动方程：摆的运动是一个十分古老的问题。
物理学、数学都作了大量的研究，但它仍然是最具魅力的研究课题。
首先我们写出驱动摆（driven pendulum ，也叫做“强迫振动摆”）的运动方程：//sin cos d dt q g ωωθφ=--+/d dt θω= （3-1） /D d dt φω=方程组（3-1）中有3个状态变量：θ—摆的角位移（angular displacement ）; ω—摆的角速度（angular velocity ）; φ—驱动力的相位角（drive phase angle ）。
因此它的轨线在3维相空间描绘。
方程（3-1）中也有3个参数：q —阻尼系数（damping factor ）；g —驱动力幅值（driving force amplitude ）； D ω—驱动力角频率（angular drivefrequency）。
同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不可能完成的任务。
我们把ωD固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性态。
（在Appendix B（Page 207， Listing 4）中有描述摆运动的计算机程序（Title: Motion），可供参考。
）2、产生混沌运动的条件：产生混沌的必要条件有2条（See: Page 2）：（1）系统至少要有3个独立的动力学变量；（2）系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。
第（2）个条件是显而易见的，混沌系统是非线性系统，没有非线性项，就不成其为非线性系统。
那么，第（1）个条件为什么要求至少要有3个独力的动力学变量？（请思考。
See:Page3“We shall see that three-dimension phase space is sufficient to allow for （a） divergence of trajectories, （b） confinement of the motion to a finite region of the phase space ofthe dynamical variables, and （c） uniqueness of the trajectory.”)方程（3-1）满足产生混沌的条件。
3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。
我们已经说过，把角频率ωD固定，选取少数几个阻尼系数q值，然后让驱动力幅值g充分地变化，来考察系统的动力学性态。
通过在计算机上的仿真，用下面的一组参数构成的摆可以产生混沌性态：ωD=2/3，q=2，0.5≤g≤1.5。
前面提到Appendix B里的程序是用TrueBASIC语言编写的驱动摆的运动仿真程序，你能将其改写为C语言程序吗？(try please)。
4、一个有趣的问题。
对初始条件的敏感性是混沌的主要特性之一。
而用计算机对混沌系统进行仿真（simulation），不可避免的从两方面引入误差：（1）用数值积分法求解微分方程产生的微小不精确性；（2）计算机的有效数字的有限长度引起的误差。
由于混沌系统对初始条件的敏感性，这两方面的误差应该很快被放大，从而导致每次计算结果应该完全不同。
事实上，同一个人用不同的计算机，或者不同的人用不同的计算机，或者在不同的地方用不同的计算机，求解同一个混沌系统，得到了十分类似的几何图形。
对这个有趣的问题如何自圆其说？3-0摆的数学描述和计算机仿真：3-1 对初始条件的敏感性（Sensitivity to initial conditions）在这一节里，我们将讨论以下3个问题：1、对初始条件敏感性的含义。
2、对初始条件敏感性的另一种描述方法。
3、发散与折叠。
1、对初始条件敏感性的含义：我们已经多次提到混沌系统的基本特征就是它对初始条件的敏感性。
这一敏感性的含义是：如果两个一样的力学系统分别从初始条件x和x+ε出发，尽管ε是一个微小量，在相空间里，两个系统的动力学演化将很快地相互发散（diverge），且发散速度的平均值是按指数规律增长。
（see: Page 42,Fig.3.2(a)）。
Fig.3.2图中（a）在1个驱动力周期内发散的情形；（b）在半个驱动力周期内发散的情形。
2、对初始条件敏感性的另一种描述方法：观察相空间中混沌摆（chaotic pendulum）的一个状态块（a block of pendulumstates）。
Page 42, Fig.3.2(b)显示了“一块”初始相点的演化。
在半个强迫摆动周期后，初始的“矩形块”演变成一个细长而弯曲的面目全非的形状。
由于是耗散系统（dissipative system），块的面积随着时间在收缩。
而且，这个块状的相点集合沿着一个方向拉伸（stretch），沿着另一个方向收缩（contract）。
在相空间的不同点，其发散方向和收缩方向是不同的，其净结果是两个相距并不远的点变得相去甚远。
3、发散与折叠。
对混沌吸引子来说，相空间中相邻两点按指数速率发散有着更深刻的意义。
两相邻相点的轨线为了保持接近而不相交，它们必须自身来回折叠，形成一个具有无限薄层的3维混沌吸引子。
我们可以想象：在一个有限空间内，轨线又要无限地伸展、发散；又要不能相交，唯一的办法就是拉伸和折叠。
在自然界里，蚕吐丝结茧就是在实现一个混沌吸引子过程。
3-0 摆的数学描述和计算机仿真： 3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：Fig.3.31、摆的相图：我们在3维相空间（θ、ω、φ）中考察驱动摆的轨线。
让ωD =2/3和q=2固定不变，ωθ/D φω使g取不同的值。
如Fig.3.3所示。
当g=0.9时（图a），系统表现出周期性态。
当g=1.07和g=1.47时，出现了比较复杂的性态（图b，c）。
但是，还是有某些简单性（规律性）。
当g=1.5时（Page45, Fig.3.3(d)），轨线极为复杂，简直可以说到了对描述系统特征没有用处的地步。
驱动摆系统进入了“混沌”状态。
显然，用“轨线”方法来描述摆的动力学行为已经很不合适。
得想另外的办法。
2、蓬加莱截面：1）我们可以采用投影的方法或蓬加莱截面的方法来描述摆的动力学行为。
如Fig.3.4所示。
在Fig. 3.4（Page46--52）的上半部分显示了摆的轨线在（θ、ω）相平面（Phase plane）上的投影。
周期运动的轨线变成了一条“闭合轨道”（a closed orbit），似乎发生了轨线相交，这是由于从3维相空间（θ、ω、φ）“压缩”到2维相空间（θ、ω）的结果，实际上轨线并没有相交。
在相空间中，动力学系统的运动轨线绝不可能相交。
Fig.3.4的下半部分显示了蓬加莱截面（PoincaréSection）。
它们是一些垂直于3维相空间φ轴的“切片”（slices）。
动力学系统的轨线与这些“切片”的交点同样“刻画”了动力学系统的特征。
简洁明了，这是蓬加莱截面（Poincaré Section）的优点。
图中的（a）、（b）、（d）、（e）和（f）显示出有限个点，刻画了运动轨线的“周期特征”；而图（c）和（g）则是一个无数点的“复杂集合”，它刻画出运动轨线的“混沌学特征”。
下面，我们分别讨论这些情况：Fig. 3.4,(a) g=0.9,上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影;下图是蓬加莱截面, 截面上有一个点,说明是:周期1的——每经过1个循环后又回到原来的相位。
Fig. 3.4, (b) g=1.07, a period doubling 上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影，有2个不重合的闭合轨线;下图是蓬加莱截面, 截面上有2个点,说明是:周期2的——每经过2个循环后又回到原来的相位，叫做：倍周期。
Fig. 3.4, (c)g=1.15,上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影，有无数个不重合的闭合轨线;下图是蓬加莱截面, 截面上有无数个点,说明是:“混沌的”，意味着“周期无限长”，即“非周期的”）。
Fig. 3.4,(d)g=1.35,随着g值的增加，系统再次呈现出周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是周期1的，但是与前一个周期有所不同。
Fig. 3.4,(e)g=1.45,随着g值的增加，系统再次呈现出倍周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是周期2的，但是与前一个倍周期有所不同——出现了另一个倍周期。
Fig. 3.4,(f) g=1.47,;随着g值的增加，系统紧接着再次呈现出倍周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是第2次倍周期，即“倍周期的倍周期”，——4倍周期，或简称：“周期4”）。
Fig. 3.4,(g) g=1.50,随着g值的增加，系统再次呈现出混沌性态。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
这是另一个“混沌状态”。
2）蓬加莱截面（Poincaré Sections）的形状是随着它在φ轴上的不同位置而变化的。
这些蓬加莱截面的形状虽然不同，但是这些形状的“聚集程度”（aggregate）却是类似的，都反映了同一个混沌吸引子的动力学性态。
随着相位φ增加，在蓬加莱截面上呈现出，混沌吸引子被反复地拉伸（stretched）、折叠（folded），好象“揉搓”面团一样，做成一个“千层饼”。
在图3.5中，给出了当φ以Δφ= 2π/10增加时，蓬加莱截面的各种情形。
φ= π时的蓬加莱截面是φ= 0时的反对称。
对照一下图a 和图f，就可以看出这种反对称性。
Fig.3.5,(a)φ=φ0 = 0.0；(b)φ=φ0+Δφ = 0.628319 = 2π/10；Fig.3.5,(c) φ=φ0 + 2*Δφ = 1.25664 = 4π/10；(d) φ=φ0+ 3*Δφ = 1.99496 = 6π/10；Fig.3.5,( e ) φ=φ0+ 4*Δφ = 2.51327 = 8π/10；( f ) φ=φ0+ 5*Δφ = 3.14159 = 10π/10 =π。