08级数理统计试卷及答案1.设随机变量X 服从区间（a,b ）(a>0)上的均匀分布，随机变量Y 服从参数为λ的指数分布，且X 、Y 相互独立。

试求：（1）（X 、Y ）的联合密度函数；/*同05级第一题（1），07级第一题*/ （2）P(Y<X)（12分）/*同04级第一题（2）*/解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=other y b x a ab y f ,00,,λe 1)(λy - ，因为X,Y相互独立，则联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==其他,00,,λe 1)()(),(λy - y b x a ab y f x f y x f/*课本p8*/（2）a)λ-(b 1a -b λe ),()(a λb λ0-y λ---+===⎰⎰⎰⎰e e dy dx dxdy y xf X Y P xb a D/*课本p6*/2.设随机变量X~B(n,p)，求X 的特征函数，并利用特征函数求E （X ）。

（10分）在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。

/*同07级第2题*/解：特征函数{}npp p kC p x x E p n k p P C k x P k n k nk k n nk k k k n kk n =-===-==-==-∑∑)1()(10,,...,1,0,)1(0/*课本p12*/3.设总体X~N(0,σ2)，n 21,...,,X X X 是来自总体X 的一个样本，试证明∑==ni X T 1i 2是σ2的充分完备统计量。

（10分）/*同07级第三题类型，同09级第2题类型*/证明：样本n x x x ,...,,21的联合分布密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∑∑∏===ni i n ni i nnx x 122221221i 2i σ21exp )πσ2(1σ21exp )σπ2(1)σ,f(x令,),...,,(,)πσ2(1)σ(1221222∑===ni i n nx x x x T c 1),...,,(,σ21)σ(2122=-=n x x x h b∑==∴ni i x T 12是2σ的充分完备统计量。

其中θ（2θ0<<）为未知数，；利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求（1）θ的矩法估计。

（2）θ的极大似然估计值。

（12分）/*同课本p69第六题，第一问同04级第二题，第二问与04级第三题同类型，05级四，06级三同类型*/解：(1)参看04级第二题 （2）似然函数为[]2422624()(12)2(1)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=-⋅-⋅⋅=--两边取自然对数，得：ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L θθθθ=++-+-两边对θ求导，并令导数等于0得：02θθ-θ)(1-θ(1)3θ14θ12(2θ218θ12θ6θ)θ(ln 2=+-=----=d L d解上述方程，得：121 0)2θθθ=<< 舍去，所以θ的极大似然估计1213-7θ∧1=注：求根公式a acb b 242-±-5.某冶金实验室对锰的熔化点作了四次实验，结果分别为：1269 ℃,1271 ℃,1263 ℃,1265 ℃；设数据服从正态分布N(2σμ,)，以α=5%的水平做如下检验：（1）这些结果是否符合与公布的数字1260 ℃？ /*课本p75*/ （2）测定值的标准差是否不超过2 ℃？（12分）解：（1）以x 表示锰的熔化点，则)σμ,(~2N x ，按题意需检验假设1260μ:1260μ:10≠⇔=H H ，由于2σ未知，采用T 检验,18.3)3(84.34/65.312601267n S/μ65.3])12671265()12671263()12671271()12671269[(141)(11126741265126312711269025.002222241==-=-==-+-+-+--=--==+++=∑=t x T x x n S x i i ，， 即)3(＞t 0.025T ，所以应拒绝0H ，即认为这些结果不符合于公布的数值1260℃。

（2）与06级第五题同类型＞2,σ:2≤σ:10H H ↔由μ未知，采用2χ检验。

82.7)3(χ102340×)14(σ)1(χ20.052222==-=-=，s n ，即）（3χ＞χ20.052所以应该拒绝H ，即认为测定值的标准差超过2℃。

6.对于多元线性回归模型εβ+=X Y ，其中)σ,0(N ~ε2n n I ，试分别求参数向量β及2σ的估计，并利用离差平方和和分解法给出模型的显著性检验。

（12分）/*p97 多元线性模型的参数估计，p98 多元线性模型的假设检验 p99*/ 注：不考7.设有两个一维正态总体1G 和2G ，其中),σ,μ(~),σ,μ(~22222111N G N G 若22221σσσ==已知，试利用距离判别给出线性判别函数。

（10分）/*P138-p139,与07级第8题同类型，与09年第7题同类型*/解：由1G 和2G 都为一维正态分布，且22221σσσ==，知它们的协方差矩阵相等，即∑∑∑===122σ，所以样品X 到2G 的距离平方与到1G 的距离平方之差为∑--+-=-121211222)μμ()2μμ(2),(),(X G X D G X D 即其线性判别函数∑---=121)μμ()μ()(X X W ，其中2μμμ21+=，并且当X ＞0,)(X W 到2G 的距离大于X 到1G 的距离，即),(＞),(1222G X D G X D ，则1G ∈X ；当X ＜0,)(X W 到2G 的距离小于X 到1G 的距离，即),(＜),(1222G X D G X D ，则2G ∈X ；当X 0,)(=X W 到2G 的距离大于X 到1G 的距离，即),(＞),(1222G X D G X D ，则1G ∈X 或2G ∈X8.设TX X X X ),,(321=的协方差矩阵为∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400031013，试求第一主成份1Y 和第二主成分2Y ；并求1Y 和2Y 的累计贡献率。

（12分）/*p131-p147*/解：由X 的协方差矩阵Σ知其对应的特征多项式为：0)2-λ()4-λ()4-λ](1)3-λ[()4-λ()4-λ()3-λ(4-λ0003-λ1-01-3-λ)A -λE (det 222==-=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=即得其特征值2λ4λλ321===，，对于4λλ21==时，解方程组0)Σ4(=-x E ，∑⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0000110114E ,得同解方程组为⎩⎨⎧=+-=-002121x x x x ，同解为21x x =（任意）。

令自由未知量11=x ，得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011ζ1，当2λ3=时，解得其对应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01-1η3，所以第一主成份：特征值为4，特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011η1，贡献率为%402444=++，第二主成份：特征值为2，特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001η2，贡献率为%402444=++，所以它们的累计贡献率为80%。

9.某商品不同的包装，在五个地区的销售情况如下：/*同2012级第7题，课本p116*/试以α=0.05的显著性水平检验该商品不同的包装和在不同的地区销售数量之间是否有显著差异。

（步骤：①做假设；②根据下表的计算结果判断假设的拒绝与接受）（10分） 方差分析：无重复双因素分析SUMMARY计数 求和 平均 方差 B 1 3 52 17.33333 21.33333 B 2 3 52 17.33333 41.33333 B 3 3 56 18.66667 25.33333 B 4 3 28 9.333333 37.33333 B 5 3 64 21.33333 25.33333 A 1 5 108 21.6 14.8 A 2 5 62 12.4 42.8 A 3 5 82 16.424.8 方差分析差异源 SS df 均方MS F 值 P-value F crit 行 241.0667 4 60.26667 5.445783 0.020435 3.837854 列 212.8 2 106.4 9.6144580.0074514.458968误差 88.53333 8 11.06667总计 524.414解：对因素⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅↔====54321115432101μ,μ,μ,μ,μ:μμμμμ::H H B 不全相等 对因素3211232102μ,μ,μ:μμμ::∙∙∙∙∙∙↔==H H A 不全相等 对因素84.384))1s )(1(,1s (,5:05.0α==---=），（F r F S B 对因素46.482))1s )(1(,1r (,5:05.0α==---=），（F r F r AαF F A ＞ ，所以拒绝原假设02H ，即该商品不同的包装对销售量有显著影响； αF F B ＞，所以拒绝原假设01H ，即该商品不同地区对销售量有显著影响。