粗糙集理论介绍
问题的提出：知识的含糊性
术语的模糊性，如高矮 数据的不确定性，如噪声 知识自身的不确定性，如规则的前后件间的 依赖关系不完全可靠 不完备性，数据缺失
由此，提出了包括
概率与统计、证据理论：理论上还难以令人信服，
不能处理模糊和不完整的数据
模糊集合理论：能处理模糊类数据，但要提供隶属
函数（先验知识）
so
例2： （表2）
R1(颜色) R2(形状) R3(体积) class
X1
红
圆形
小
1
X2
蓝
方形
大
1
X3
红
三角形
小
1
X4
蓝
三角形
小
1
X5
黄
圆形
小
2
X6
黄
方形
小
2
X7
红
三角形
大
2
X8
黄
三角形
大
2
等价类IND(R1)={{x1,x3,x7}, {x2,x4}, {x5,x6,x8}}
X={X1,X2,X3,X4}
Step2. 针对各个属性下的初等集合寻找下近似和上近似。
以“头疼＋肌肉痛＋体温”为例，设集合X为患流感的 人的集合，I为3个属性构成的一个等效关系： {p1},{p2,p5},{p3},{p4},{p6}， 则
X={P1,P2,P3,P6} I={{p1},{p2,p5},{p3},{p4},{p6}}
粗糙集在数据挖掘中的应用 基于粗糙集的数据约简
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1. 粗糙集在数据挖掘中的应用
粗糙集对不精确概念的描述是通过上、下近似这两 个精确概念来表示的。
粗糙集理论的的数学基础：假定所研 究的每一个对象都涉及到一些信息（数据、 知识），如果对象由相同的信息描述，那 么它们就是相似的或不可区分的。
Example 例3 含6个流感病例的表
对于任何一个属性集合P，不可分辨关系用IND表 示，定义如下： IND(P)＝{(x,y) U×U:f(x,a)=f(y,a), aP}
不可分辨关系就是U上的等价关系
基本集：由论域中相互间不可区分的对象组成的 集合，是组成论域知识的颗粒。
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例1 一玩具积木的集合如下表描述（表1）
R1(颜色) R2(形状) R3(体积)
311100 402111 512101 610100
正区域为：{4},{5,7} So， POSC(D)＝ POS{A1,A2}({A5})＝{4,5,7}
712211 800211
γQ(P)=3/8=0.375
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属性的重要性
不同属性对于决定条件属性和决策属性之间的依 赖关系起着不同的作用
属性a加入C，对于分类U/IND(D)的重要程度定义为： SGF(a, C, D)=γC(D)-γC-{a}(D)
下近似得到的：
RULE1：IF （头疼＝否）and（肌肉痛＝是)and(体温＝高） THEN 患有流感 RULE2：IF （头疼＝是）and（肌肉痛＝是)and(体温＝很高） THEN 患有流 感 RULE3：IF （头疼＝否）and（肌肉痛＝是)and(体温＝很高） THEN 患有流 感 负区得到的： RULE4：IF （头疼＝否）and（肌肉痛＝是)and(体温＝正常） THEN 没患流 感 边界区得到的： RULE5：IF （头疼＝是）and（肌肉痛＝否)and(体温＝高） THEN 可能
if a＝A1，then γC-{a}(D)＝ γ{A2}(D)=3/8 if a＝A2，then γC-{a}(D)＝ γ{A1}(D)=0
SO,
SGF(A1, C, D)=0 SGF(A2, C, D)=3/8 说明属性A2比属性A1更重要
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冗余属性
对于属性集D和R，属性a属于R，如果 POSR(D)= POSR-{a}(D)，
粗糙度与粗糙隶属函数
vague（粗糙度）：用来描述集合，指集合的 边界不清楚
uncertainty（粗糙隶属函数）：描述元素，指 某个元素是否属于某集合是不确定的。
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粗糙集理论的基本概念 粗糙集理论的应用（规则挖掘和属性约简） 其他
粗糙集的应用
是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具， 能有效地分析不精确，不一致，不完整等各种不完 备的信息， 还可以对数据进行分析和推理， 从中 发现隐含的知识， 揭示潜在的规律
例2的粗糙度 ＝2/5
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基本概念（6）粗糙隶属函数 （Rough membership function)
含糊集合没有清晰的边界，即，根据论域中现有知识无法判定某 些元素是否属于该集合。在RS中，不确定（uncertainty）这个概 念是针对元素隶属于集合的程度而言。
例2中，I为属性{R1}上构成的等价关系时，x1对 集合Ｘ的粗糙隶属函数为：2/3
集合X的下近似为 I*(X)=POS(X)={p1,p3,p6} 集合X的上近似为 I*(X)＝{p1,p2,p3,p5,p6} 集合X的负区为 NEG(X)={p4} 集合X的边界区为 BND(X)= {p2,p5}
Step3. 获取规则
根据上面的分析可得出关于属性“头疼＋肌肉痛＋体温”的规则：
论域中相互间不可分辨的对象组成的集合。是组成知识 的颗粒（granule）。知识是有粒度的. 粒度越小, 能精确 表达的概念越多. 粒度的形式表示:不可分辨关系/等价类. 粒度是知识的最小单位。
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基本概念（3）不可分辨关系与基本集
不可分辨关系IND(P)/等价关系：分类过程中，相差不大
的个体被归于同一类，他们的关系就是不可区分关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
Outline：
粗糙集理论的基本概念 粗糙集理论的应用（规则挖掘和属性约简） 其他
基本概念
1 信息系统，决策表 2 知识 3 等价关系，不可分辨关系与基本集 4 下、上近似
正区域，负区域，边界域 5 粗糙度 6 粗糙隶属函数
基本概念（1） 信息系统
信息系统是四元组(U,Q,V,f). 其中 U是对象集合 Q是属性集合（包括条件属性C和决策属性 D)， V是属性的值域 f是一种映射，反应对象集合之间的值
以“肌肉痛＋体温”为例：
X={P1,P2,P3,P6} I={{p1},{p2,p5},{p3,p6},{p4}}
RULE1：IF （肌肉痛＝是)and(体温＝高） THEN 患有流感 RULE2：IF （肌肉痛＝是)and(体温＝很高） THEN 患有流 感 RULE3：IF （肌肉痛＝是)and(体温＝正常） THEN 没患流 感 RULE4：IF （肌肉痛＝否)and(体温＝高） THEN 可能
粗糙集理论的历史
20世纪70 年代, 波兰数学家Z. Pawlak 和一些 波兰科学院,波兰华沙大学的逻辑学家们,一起 从事关于信息系统逻辑特性的研究. 1982. Z.Pawlak发表论文“Rough Set”.宣告 RS的诞生 1991. Z.Pawlak出版著作“Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data ” 1992. 召开首次国际研讨会,应用专集. 之后得到飞速发展, 在数据挖掘, 模式识别, 粗 糙逻辑等方面取得较大进展.
X1
红
圆形
小
X2
蓝
方形
大
X3
红
三角形
小
X4
蓝
三角形
小
X5
黄
圆形
小
X6
黄
方形
小
X7
红
三角形
大
X8
黄
三角形
大
取不同的属性组合,可得不同的等价关系（粒度)为： IND（R1）＝{{x1,x3,x7}, {x2,x4}, {x5,x6,x8}} IND（R1,R2）＝{{x1}, {x2}, {x3,x7}, {x4}, {x5}, {x6}, {x8}}
粗糙集理论：能处理具有不精确性和不确定性的知
识
等各种理论和方法
模糊集和基于概率方法，有时需要一些数据的 附加信息或先验知识, 如模糊隶属函数,基本概 率指派函数和有关统计概率分布等, 而这些信 息有时并不容易得到
粗糙集无需提供问题所需处理的数据集合之外 的任何先验信息, 所以对问题的不确定性的描 述或处理可以说是比较客观的
（表4－3）
病 头 肌肉 体 流 例 疼 疼 温感
P1 否 是 高 是
P2 是 否 高 是
P3 是
是
很 高
是
Step1. 寻找不可分辨关系： “头疼”：{p2,p3,p5},{p1,p4,p6} “肌肉痛”：{p1,p3,p4,p6},{p2,p5} “体温”：{p1,p2,p5},{p3,p6},{p4} “头疼＋肌肉痛”：
粗糙集理论的基本观点
粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的， 它将分类理解为在特定空间上的等价关系，而等 价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知 识理解为对数据的划分，每一被划分的集合称为 概念。
粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库， 将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知 识来(近似) 刻画。

C
(
D)

|
POS C |U
( |
D)
|
POSc(D)是属性集C在U/IND(D)中的正区域。 example
例4. 属性依赖度的计算 令C＝{A1,A2}, D={A5}
U A1 A2 A3 A4 A5 依据属性A1、A2，可得到
100100
U/IND（D）：
210211
{{1,8},{2,6},{3},{4},{5,7}}
基本概念（4） 集合的上近似、下近似和边界区
一个对象a是否属于集合X根据现有知识来 判断，可分为三种情况：