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浙江高考数列经典例题汇总


其中前 n 项和为 Sn ,且对任意 n N ,都有 a n 1
an an 2 2
(1 ) 若 a1 1 , a505 2017,求 a6 的最大值
(2 ) 对任意 n N ,都有 Sn 1 ,求证 0 an a n 1
2 n(n 1)
1 设数列 an 满足 an 1 an2 an 1 n N* , Sn 为 an 的前 n 项和 .证明:对任意 n N* ,
( 1) f ( n 1) a2 n 1a2n
1 求证: 6
Tn
5 (n 24
N*)
5. 【 2005 年 .浙江卷 .理 20 】 设点 An ( xn , 0) , Pn ( xn ,2 n 1) 和抛物线 Cn : y=x2 + an x +
1 bn(n ∈ N*),其中 an=- 2- 4n - 2n 1 , xn 由以下方法得到:
an 1
an
1 2
an2

n
N
(1 )若 a1
a (a 0) ,求 1
1 2a
2 a1
1 2 a2
1
的值;
2 a10
(2 )当 a 0时,定义数列 bn , b1 ak (k 12) , bn 1 1 1 2bn ,是否存在正整
数 i, j (i j ) ,使得 bi bj
不存在,说明理由。
12 aa
an
1 n2 ;
an 1
n
1
(3 )证明: an
.
4
13 . 对任意正整数 n ,设 an 是关于 x 的方程 x3 nx 1 的最大实数根
(1 )求证: n an an 1 n 2
(2 )当 n 4 时,对任意的正整数 m, n m
n an m an 2( n m
n)
2
1
(3 )设数列 { an2 } 的前 n 项和为 Sn ,求证: ln(1
(Ⅲ)记数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明:对任意的 n N , 2
1 n 1 Sn 3 .
2
例 3.(浙江省温州市十校联合体 2017 届高三上学期期末) 已知数列 { an } 满足 a1 1,an 1 1 an2 m ,
8 (1) 若数列 { an} 是常数列,求 m 的值; (2 )当 m 1时,求证: an an 1 ;
1
(2 )设数列
{ } 的前 Sn
n 项和为
Tn ,是否存在正整数
,对任意
m, n N * , 不等式 Tm - Sn 0恒成立?若存在,求出 的最小值,若不存在,请说明理由
9. 已知数列 an 满足: a1 1,an 1 a n
a
2 n
2
n
N
.
n1
(Ⅰ)证明: an 1 1 an
1
2;
n1
2n 1
数列 an 满足 a1
1

2
例 9.( 2017 年 4 月浙江金华十校联考) 数列 an 满足 a1
1 , an 1 an
2
1 (n N ) n
(1) 求证: an 2 n
an ; n1
11
1
(2) 求证: 2( n 1 1
....
n
2a3 3a4
(n 1)an 2
例 10 .( 2017 年 4 月杭州高三年级教学质量检测) 已知数列数列 an 的各项均为非负数,
(i )求 Sn ;
(ii)求正整数 k ,使得对任意 n N ,均有 Sk Sn .
2. 【 2011 年 .浙江卷 .理 19 】(本题满分 14 分)已知公差不为 0的等差数列 { an} 的首项 a1 a
111 ( a R ),设数列的前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列
a
2 n
1
an 1
1
a
2 n
(
n
N ) . Sn
a1 a2
an
1
1
Tn
1 a1 (1 a1 )(1 a 2 )
1 (1 a1)(1 a2 )
(1 an ) .
求证:当 n N 时, (Ⅰ) an an 1 ; (Ⅱ) Sn n 2; (Ⅲ) Tn 3。
4. 【2007 年.浙江卷 .理 21 】(本题 15 分) 已知数列 { an} 中的相邻两项 a2k a 1, 2k 是关于 x 的
(1 )若数列 { an} 是常数列,求 m 的值;
(2 )当 m 1时,求证: an an 1 ;
(3 )求最大的正数 m ,使得 an 4 对一切整数 n 恒成立,并证明你的结论 .
8. 已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn
2an
3 2n , n
N* .
1 (1 )求证 { an 2n } 为等比数列,并求出数列 { an} 的通项公式;
方程的两个根,且 a2k 1 a2k (k 1,2,3, )
(Ⅰ)求 a1,a3 , a5 , a7 ;
(Ⅱ)求数列 { an} 的前 2n 项的和 S2n ;
f ( n)
( Ⅲ)记
1 | sin n |
(
3)
Tn
2 sin n

( 1)f (2) a1a2
( 1) f (3) a3a4
( 1) f (4) a5 a6

例 5.(浙江省台州市 2017 届高三上学期期末质量评估)已知
1
数列 an 满足 a1
,,
2
an 1
an2
ana , n N
2016
(1) 求证 an 1 an
(2) 求证 a2017 1
(3) 若证 ak 1 ,求证整数 k 的最小值。
例 6(. 浙江省杭州高级中学 2017 届高三 2 月高考模拟考试) 数列 an 定义为 a1 0 ,a11 a ,
7. 【 2016 高考浙江理数】 设数列 an 满足 an
an 1 2
1 ,n

(I )证明: an 2 n 1 a1 2(II )若
2 ,n
,证明: an 2 , n

例 1.(浙江省新高考研究联盟 2017 届高三下学期期初联考) 已知数列 an 满足 a1=3 ,
an+1 =a n2+2a n , n ∈ N* , 设 bn =log 2(a n +1). (I )求 {a n}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
n3
an 1 n 1.
2
10 . 已知数列 a n 满足: a1
1, an 1
an
an (n 1)2
.(
n
N* ),
证明:当 n N * 时,
(Ⅰ ) an 1 an
1
1; (n 1)2
2(n 1)
(Ⅱ)
an 1 n 1
n3
.
11 . 已知数列 { an} 满足 a1
2 , an 1
5
2an , n 3 an
a2n c a2n 1 对所有的 n N 都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列
1 an 的前 n 项的和为 Sn ,证明: 4
Sn n
1.
例 8.( 2017 年 4 月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测)
an 1
an 2
a
2 n
an
(n 1
N)
(1 )证明: an 1 an ;
(2 )设 { an} 的前 n 项的和为 Sn ,证明: Sn 1 .
(Ⅰ)求数列 { an} 的通项公式及 Sn
An
(Ⅱ) 记
1 S1
1 S2
1 ... 1 Bn
S3
Sn ,
11 a1 a2
1 a22
... 1 a2n ,当 n 2 时,试比较
An 与 Bn 的大 小 .
3. 【 2008 年 .浙江卷 .理 22 】(本题 14 分)已知数列 an , an 0 , a1 0 ,
上点的最短距离. ( Ⅰ求)x2 及 C1 的方程.
( Ⅱ证)明 { xn }是等差数列.
1
6. 【 2015 高考浙江,理 20】 已知数列
an
满足
a1 =
2

an
1 = an
2
- an (
n
N* )
an 2
(1 )证明: 1 an 1
( n N * );
1
Sn
1
(2 )设数列 an2 的前 n 项和为 Sn ,证明 2( n 2) n 2( n 1) ( n N * )
x1 = 1,点 P2(x2 , 2) 在抛物
线 C1 : y= x2+ a1x +b1 上,点 A1(x1 , 0) 到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离, … ,
点 Pn 1 (xn 1,2 n ) 在抛物线 Cn :y =x2 + an x + bn 上,点 An ( xn ,0) 到 Pn 1的距离是 An 到 Cn
(Ⅰ)当 0 ≤ a1 ≤1 时, 0≤ an ≤1 ;
(Ⅱ)当 a1 1 时, an a1 1 a1n 1 ;
(Ⅲ)当 a1
1 时, n
2
2n Sn n .
2. 已知数列 an 满足 a1
1 2 且an 1
an
ban2( n N )
(1) b
1, 求证 :1 a n 2 an 1
(2) b
2, 数列
n )
3
Sn
1
2n 3
N.
1
(1 )求 a2 ,并求数列
{ } 的通项公式; an
(2 )设 { an} 的前 n 项的和为 Sn ,求证:
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