2 f0 fe 2
fe
f0为实际次数 fe为理论次数
χ2的大小随实际频数与理论频数差
的大小而变化。两者之差越小，说明样 本分布与假设的理论分布越一致；两者 之差越大，说明样本分布与假设的理论 分布越不一致。
二、χ2检验的过程
1.提出假设（配合度检验） H0：没有显著性差异 H1：有显著性差异
2.选择检验统计量并计算
对点计数据进行差异检验,可选择χ2
检验
计算
表11-2 学生对分科意见的χ2检验计算表
赞成 反对 总和
fo
fe
fo fe fo fe 2
fo fe 2 fe
39 30 9
81
2.7
21 30 -9
81
2.7
60 60
5.4
自由度为: df = k -1=2-1=1
三、配合度的χ2检验
1．计算公式
一个变量，被按一定标准分为k 组，χ2值
的计算公式
2
f f 2
0
e
f
e
自由度为df＝k－1。
2．理论次数的计算
两种情形
计算要点
各类别理论次数相等
将总次数平均 分到几个类别
各类别理论次数符合一定的比例
将总次数按已知比例 分到几个类别
3．χ2检验的计算
2.根据虚无假设，确定各类事物理论 次数。
3.根据公式计算实得的 2值。
4.选取适当的显著性水平，确定自
由度，查表，找到 临2 界值。
5.做出统计判断。
当χ2 ＜ (2df )0.05 ， P＞0.05 差异不显著，保留H0，拒绝H1
当χ2 ≥
2 (df )0.05
，P<0.05，
差异显著，拒绝H0，接受H1
练习
某高校按 1：4：7：3 的比例规定了各 级教师岗位职称人数，该校现有各级教 师人数为：教授 45人，副教授255人， 讲师360人，助教435人，问该校现有教
师的人数比例是否符合规定？(α=0.05)
2 273 .09
三、四格表的独立性χ2检验
四格表是有两个变量，每一个变量 各被分为两类的双向表。
第十一章
2检验
一、χ2检验的原理
χ2检验是专门对计数数据资料进行假 设检验的统计方法。 χ2检验对总体的分布不做要求，也不 对总体参数进行推论，只是对总体的数据 分布进行假设检验。 χ2检验属于自由分布的非参数检验。
χ2检验包括配合度检验和独立性检验。
配合度检验是检验某抽样观测数据的分布 是否与某一理论分布相一致的检验。 如：扔硬币正反面的实际次数分布与理论 次数分布是否一致。 再如：对某一问题赞成与反对的人数的实 际分布与人数的理论分布是否一致。
3.统计决断
查χ2值表，当 df
=1 时
2 (1)0.05
3.84
计算结果为： χ2=5.4
χ2= 5.4 > 3.84，则P<0.05，拒绝H0
结论：在0.05显著性水平上，学生对高中文理 分科的态度有显著差异。
例2：大学某系54位老年教师中，健康
状况属于好的有15人，中等的有23人，差的 有16人。问该校老年教师健康状况好、中、 差的人数比例是否为1：2：1？
变 量 Ⅱ
合计
变量Ⅰ
A
B
C
D
A+C
B+D
合计 A+B C+D N=A+B+C+D
A格的理论次数：
(A B)A C
fA
N
B格的理论次数：
(A B)B D
fB
N
C格的理论次数：
(A C)C D
fC
N
D格的理论次数： fD (C D)B D
从Z=-∞到Z=-1.8，P=0.036，理论次数11.3 Z=-1.8到Z=-0.6，P=0.238，理论次数74.7 Z=-0.6到Z=0.6，P=0.452，理论次数142.0 Z=0.6到Z=1.8，P=0.238，理论次数74.7 Z=1.8到Z =+∞ ，P=0.036，理论次数11.3
则：
2
f f 2
0
e
f
e
(22 11.3)2 (16 11.3)2
11.3
11.3
23.4307
当显著性水平为0.05时，df=5-1=4时，
2 ( 4 ) 0.05
9.4
χ2= 23.4307>9.4，则
P < 0.05
结论：在0.05显著性水平上，学生实际成 绩等级评定人数分布与正态分布期待的理 论次数有显著差异.
表11-1 单变量χ2检验计算表
fo
分组Ⅰ
fe fo fe fo fe 2
fo fe 2 fe
分组Ⅱ分Biblioteka Ⅲ总和χ2例1：随机抽取60名学生，询问他
们在高中是否需要文理分科，赞成分科 的39人，反对分科的21人，问他们对分 科的意见是否有显著差异？
解题过程
1.提出假设 H0：学生对分科的意见没有显著差异 H1：学生对分科的意见有显著差异
1.提出假设
H0：健康状况好、中、差的人数比例是1：2：1 H1：健康状况好、中、差的人数比例不是1：2：1
2. 计 算
表11-3 老年教师健康状况的χ2检验计算表
好 中 差
总和
fo f e fo fe fo fe 2
15 13.5 1.5
2.25
23 27.0 -4.0 16.0
16 13.5 2.5
6.25
54 54
fo fe 2
fe
0.167 0.593 0.463
1.22
3.统计结论
查χ2值表，当 df =k -1=2 时
2 (2)0.05
5.99
计算结果为： χ2=1.22
χ2= 1.22 ＜ 5.99，则 P > 0.05
结论：在0.05显著性水平上，理论频数与实际 频数差异不显著,表明该校老年教师健康状况的
人数比例是1：2：1。
例3：某学校314人的英语能力等级评 定结果如下：优22人，良94人，中113人， 中下69人，不及格16人。问该校314名学 生英语能力等级分布是否满足正态分布。
解：假设：
H0：学生实际成绩等级评定人数分布与正态 分布期待的理论次数无显著差异 H1：学生实际成绩等级评定人数分布与正态 分布期待的理论次数有显著差异 则：在正态分布下各等级所占的比例分别为：
独立性检验是对两个或两个以上变量的 多个分类特征之间是彼此相关，还是彼此 独立的检验。 如：某年级学生按成绩优、良、中、差 分四类，再按男女分两类，学生成绩的高 低与性别之间是相关还是独立的。 再如：人的血型与人的性格是否有关联
χ2检验是对由样本得来的实际次数 与理论次数的分布是否有显著性差异所 进行的假设检验。其计算公式为：