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数学:2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2) (2)

数学:2.3《数学归纳法》教案(新人教A 版选修2-2)
第一课时 2.3 数学归纳法(一)
教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程: 一、复习准备:
1. 问题1: 在数列{}n a 中,*111,,()1n
n n
a a a n N a +==
∈+,先算出a 2,a 3,a 4的值,再推测通项a n 的公式. (过程:212a =,313a =,41
4
a =,由此得到:*1,n a n N n =∈)
2. 问题2:2()41f n n n =++,当n ∈N 时,()f n 是否都为质数?
过程:(0)f =41,(1)f =43,(2)f =47,(3)f =53,(4)f =61,(5)f =71,(6)f =83,
(7)f =97,(8)f =113,(9)f =131,(10)f =151,… (39)f =1 601.但是(40)f =1
681=412是合数
3. 问题3:多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课:
1. 教学数学归纳法概念:
① 给出定义:归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点:由特殊→一般.
不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳
法.
② 讨论:问题1中,如果n =k 猜想成立,那么n =k +1是否成立?对所有的正整数n 是否成立?
③ 提出数学归纳法两大步:(i )归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立;(ii )归纳递推:假设n =k (k ≥n 0, k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于n 0的正整数
n 0+1,n 0+2,…,命题都成立. 关键:从假设n =k 成立,证得n =k +1成立. 2. 教学例题:
① 出示例1:2222*(1)(21)
123,6
n n n n n N +++++
+=
∈.
分析:第1步如何写?n =k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发?
小结:证n =k +1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. ② 练习:
求证:2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+
++=+∈.
③ 出示例2:设a n =12×+23×+…+(1)n n + (n ∈N *),求证:a n <1
2
(n +1)2.
关键:a 1k +<12(k +1)2+(1)(2)k k ++=12(k +1)2+232k k ++<12(k +1)2+(k +32
)=12
(k +2)2
小结:放缩法,对比目标发现放缩途径. 变式:求证a n >1
2
n (n +1) 3. 小结:书写时必须明确写出两个步骤与一个结论,注意“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n =k 到n =k +1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习: 1. 练习:教材108 练习1、2题 2. 作业:教材108 B 组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法(二)
教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点:经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题. 教学过程: 一、复习准备:
1. 练习:已知()*()13521,f n n n N =++++-∈,猜想()f n 的表达式,并给出证
明?
过程:试值(1)1f =,(2)4f =,…,→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 2. 提问:数学归纳法的基本步骤? 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例1:已知数列1111
,,,,
2558811(31)(32)
n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+,猜想n S 的表达式,并证明.
分析:如何进行猜想?(试值1234,,,S S S S →猜想n S ) → 学生练习用数学归纳法证明
→ 讨论:如何直接求此题的n S ? (裂项相消法)
小结:探索性问题的解决过程(试值→猜想、归纳→证明) ② 练习:是否存在常数
a 、
b 、
c 使得等式
132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=
21
()6
n an bn c ++对一切自然数n 都成立,试证明
你的结论.
解题要点:试值n =1,2,3, → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明 2. 练习:
① 已知 0(1,2,,)i a i n >=,考察111()1i a a ⋅
≥;1212
11
()()()4ii a a a a ++≥;123123
111
()()()9iii a a a a a a ++++≥之后,归纳出对12,,
,n a a a 也成立的类似不等式,并证明你
的结论.
② (89年全国理科高考题)是否存在常数a 、b 、c ,使得等式 (答案:
a =3,
b =11,
c =10)
12222(1)
223.....(1)()12
n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立?并证明你的结论
3. 小结:探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”. 三、巩固练习:
1. 平面内有n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2-n +2个部分.
2. 是否存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. (答案:m =36)
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资. 证明:(1)当8,9,10n =时,由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立; (2)假设(7,)n k k k N =>∈时,命题成立. 则
当3n k =+时,由(1)及归纳假设,显然3n k =+时成立.根据(1)和(2),可知命题成立.
小结:新的递推形式,即(1)验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈;(2)假设()P k 成立,并在此基础上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2),对一切自然数
0()n n ,命题()P n 都成立.
2. 作业:。

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