均值不等式应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）. 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
解：（1）值域为[ 6 ，+∞） （2）值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

解：当1x =时，max 1y =。

技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解：x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

变式：设2
3
0<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。

技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

技巧四：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

例：求函数22
4
y x =
+
解：函数的值域为5,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x
++=
> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；3．2
03
x <<
，求函数(23)y x x =-.
条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是 .
解： 1==b a 时，b
a 33+的最小值是6．
变式：若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x,y 的值 技巧五：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。

解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+
y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x
+的最小值
（3）下列命题中正确的是A 、1
y x x
=+
的最小值是2 B 、222
y x =+的最小值是 2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是243- D 、
4
23(0)y x x x
=-->的最小值是243-
（答：C ）；
（4）若21x y +=，则24x y +的最小值是______
（答：；
（5）正数,x y 满足21x y +=，则
y
x 1
1+的最小值为______（答：3+； （6）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________
（答：[)9,+∞）
技巧六、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
x 1＋y 2 ≤ 3
4
2
技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧八：取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解法：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2
2
，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2
（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2
3x ＋2y ＝2 5
变式: 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =时取等号。

故max y =。

应用二：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且
19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解：令,0,0,
x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky
∴++= 103
12k k
∴-
≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用三：不等式在恒成立问题中的应用：
（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围___（答：1a <）； （3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_（答：
（
712-,31
2
+））；。