青岛版八年级数学上册期中质量检测题（第一章—第三章）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.分式2x23x−2y中的x，y同时扩大2倍，则分式的值（）A. 不变B. 是原来的2倍C. 是原来的4倍D. 是原来的122.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS3.如图，△ABC≌△BDE，若AB=12，ED=5，则CD的长为（）A. 5B. 6C. 7D. 84.如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC其中正确的有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 55.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A. 一个角是的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 各有一个角是,腰长都是8cm的两个等腰三角形D. 腰长相等的两个等腰直角三角形6.关于x的方程3x−2x+1=2+mx+1无解，则m的值为（）A. −5B. −8C. −2D. 57.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA = 2 ：1，则∠A为（）A. B. C. D.9. 如图,点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点,且∠MPN 与∠AOB 互补,若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中,其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点,则以下结论：(1)PM =PN 恒成立；(2)OM +ON 的值不变；(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变,其中正确的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 110. 已知1x −1y =3，则5x+xy−5yx−xy−y 的值为（ ）A. −72B. 72C. 27D. −27 11. 观察下列等式：a 1=n ，a 2=1-1a 1，a 3=1-1a 2，…；根据其蕴含的规律可得（ ）A. a 2013=nB. a 2013=n−1n C. a 2013=1n−1 D. a 2013=11−n 12. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ．给出下列四个结论：①DE =DF ；②DB =DC ；③AD ⊥BC ；④AC =3BF ，其中正确的结论共有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13. 若关于x 的方程2x−2+x+m 2−x =2有增根，则m 的值是______．14. 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AC =8cm ，DE 是BC 边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm ，则△ABC 的面积是______cm 2．15. 若x 2=y 3=z m （x ，y ，z 均不为0），x+2y−zz =1，则m 的值为______ ．16. 已知实数m 满足m 2-3m +1=0，则代数式m 2+19m 2+2的值等于______．17. 如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=______．18. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为______．三、计算题19. （24分）（1）（1- 1 1−x ）÷x x−1．（2）b a−b +b 3a 3−2a 2b+ab 2÷ab+b 2b 2−a 2．（3）（a−ba+b - a+ba−b）÷（1-a2+b2a2−2ab+b2）（4）a2a−1-a-1．20.（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：△ABF是等腰三角形．21.（12分）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的12，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？22.（15分）观察下列各式：12=11×2=11−12，16=12×3=12−13，112=13×4=13−14，120=1 4×5=14−15，130=15×6=15−16，…（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来______ ．（2）请利用上述规律计算：12+16+112+⋯+1(x−1)x+1x(x+1)．（x为正整数）（3）请利用上述规律，解方程：1(x−2)(x−1)+1(x−1)x+1x(x+1)=1x+1．23.（15分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）一个不为0的数（或式），分式的值不变.根据分式的基本性质得到x，y同时扩大2倍时，分子扩大4倍，分母扩大2倍，则分式的值是原来的2倍．【解答】解：∵分式2x 23x−2y中的x，y同时扩大2倍,∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，∴分式的值是原来的2倍.故选B.2.【答案】A【解析】【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键．【解答】解：由作法易得OD=O′D'，OC=O′C'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS．故选：A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边．先根据全等三角形的对应边相等得出AB=BD=12，BC=DE=5，再由CD=BD-BC，将数值代入计算即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AB=12，ED=5，∴AB=BD=12，BC=DE=5，∴CD=BD-BC=12-5=7．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中.根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED=90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠BED=90°，但A、D、C可能不在同一直线上，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，从而可判断∠C，但A、D、C可能不在同一直线上，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD=CD，但A、D、C可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD=∠EBD，∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；②∵△BDE≌△CDE，∴BD=CD，BE=CE，∴DE⊥BC，∴∠BED=90°，∵△ADB≌△EDB，∴∠A=∠BED=90°，∴AB⊥AD，∵A、D、C可能不在同一直线上∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，∵∠A=90°若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正确；④∵△BDE≌△CDE，∴BE=CE，∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD=CD，若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．故选A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，等腰三角形的性质，做题时要确定各角、边的对应关系．利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如：SAS、ASA、AAS、HL等）【解答】解：A.因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；B.因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；C.因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．D.因为符合SAS，故本选项正确；故选：D．6.【答案】A【解析】【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3x-2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m，解得：m=-5，故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=42°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，{AM=BK ∠A=∠B AK=BN，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-∠A-∠B=96°.故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，三角形内角和定理的有关知识，熟记性质并列出方程是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠DBA，∵∠CBD：∠DBA=2：1，∴在△ABC中，∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°.解得∠A=22.5°.故选C.9.【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可逐一判断．【解答】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠EPF =∠MPN ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在△POE 和△POF 中，{OP =OP PE =PF， ∴△POE ≌△POF ，∴OE =OF ，在△PEM 和△PFN 中，{∠MPE =∠NPF PE =PF ∠PEM =∠PFN，∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，故（1）正确，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故（3）正确，∵OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故（2）正确，MN 的长度是变化的，故（4）错误.故选B .10.【答案】B【解析】【分析】这是一道考查分式的化简求值的题目，解题关键在于得到x -y =-3xy ，再整体代入即可得到答案.【解答】解：∵1x −1y =y xy −x xy =y−x xy =3， ∴y -x =3xy ，即x -y =-3xy ， ∴原式=5(x−y )+xyx−y −xy =5×(−3xy )+xy−3xy−xy =−14xy−4xy =72 故选B ．11.【答案】D【解析】解：由a 1=n ，得到a 2=1-1a 1=1-1n =n−1n ，a 3=1-1a 2=1-n n−1=-1n−1=11−n ，a 4=1-1a 3=1-（1-n ）=n ，以n ，n−1n，11−n 为循环节依次循环，∵2013÷3=671， ∴a 2013=11−n ．故选：D ．归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.【答案】A【解析】解：∵BF ∥AC ，∴∠C =∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC =∠CBF ，∴∠C =∠ABC ，∴AB =AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD =CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，{∠C =∠CBF CD =BD ∠EDC =∠BDF，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE =DF ，CE =BF ，故①正确；∵AE =2BF ，∴AC =3BF ，故④正确．故选：A ．根据等腰三角形的性质三线合一得到BD =CD ，AD ⊥BC ，故②③正确；通过△CDE ≌△DBF ，得到DE =DF ，CE =BF ，故①④正确．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．13.【答案】0【解析】解：方程两边都乘以（x -2）得，2-x -m =2（x -2），∵分式方程有增根，∴x -2=0，解得x =2，∴2-2-m =2（2-2），解得m =0．故答案为：0．方程两边都乘以最简公分母（x -2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值．本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14.【答案】24【解析】【分析】本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质得出BD =DC ，求出AB +AC =14cm ，求出AB ，代入12×AB ×AC 求出即可． 【解答】解：∵DE 是BC 边上的垂直平分线，∴BD =DC ，∵△ABD 的周长为14cm ，∴BD +AD +AB =14cm ，∴AB +AD +CD =14cm ，∴AB +AC =14cm ，∵AC =8cm ，∴AB =6cm ，∵∠BAC =90°，∴△ABC 的面积是12AB ×AC =12×6×8=24（cm 2）， 故答案为24．15.【答案】4【解析】解：设x 2=y 3=z m =a ，∴x =2a ，y =3a ，z =am ，∵x+2y−z z =2a+6a−ma ma =1，∴m =4，故答案为：4．可以设x 2=y 3=z m =a ，进而可以得出x 、y 、z 的值，代入所要求的方程中即可得出答案． 本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．16.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了代数式的值和分式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m 2=3m -1.先表示出m 2=3m -1代入代数式，通分，化简即可得出结论.【解答】解：∵m 2-3m +1=0，∴m 2=3m -1，∴m 2+19m 2+2，=3m -1+193m−1+2， =3m -1+193m+1， =9m 2−1+193m+1， =9m 2+183m+1， =9(3m−1)+183m+1， =9(3m+1)3m+1，=9，故答案为9.17.【答案】55°【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△CAE ．求出∠BAD =∠EAC ，证△BAD ≌△CAE ，推出∠2=∠ABD =30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，∴∠1=∠EAC ，在△BAD 和△CAE 中，{AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠2=∠ABD =30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°，故答案为55°．18.【答案】10【解析】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =16，解得AD =8， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =8+12×4=8+2=10． 故答案为：10．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19.【答案】解：（1）原式=x−1＋1x−1·x−1x=1；（2）原式=b a−b +b 3a (a−b )2·−(a+b )(a−b )b (a+b )=b a −b −b 2a (a −b )=ab −b 2a(a −b)=b (a −b )a (a −b )=b a； （3）原式=(a−b)2−(a ＋b)2(a ＋b)(a−b)÷a 2−2ab+b 2−a 2−b 2(a−b )2 =a 2−2ab +b 2−a 2−2ab −b 2(a +b )(a −b )÷−2ab (a −b )2=−4ab (a ＋b)(a −b)·(a −b )2−2ab=2a−2ba ＋b ；（4）原式=a 2−(a 2−1)a−1=a 2−a 2+1a −1=1a−1.【解析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键.（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的加减乘除混合运算顺序进行约分计算即可；（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（3）首先通分计算括号里面再根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分.20.【答案】证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠ECF ，∵E 是CD 的中点，∴DE =EC ．∵在△ADE 与△FCE 中，{∠ADC =∠ECF DE =EC ∠AED =∠CEF，∴△ADE ≌△FCE (ASA )，∴AE =EF ，AD =CF ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB =BF ，∴△ABF 是等腰三角形.【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定.根据AD ∥BC 可知∠ADC =∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可得出FC =AD ．根据线段垂直平分线的性质判断出AB =BF 即可.21.【答案】解：（1）设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意得60012x +3000−6002x =3000x -2，解得：x =300，经检验x =300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2=600米， 答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【解析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键． （1）设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；（2）300×2=600米即可得到结果． 22.【答案】解：（1）1x(x+1)=1x -1x+1（2）原式=1-12+12-13+13-14+…+1x−1-1x +1x -1x+1，=1-1x+1，=x x+1；（3）方程变形得：1x−2-1x−1+1x−1-1x +1x -1x+1=1x+1，整理得：1x−2-1x+1=1x+1，去分母得：x +1-x +2=x -2，解得：x =5，检验：将x =5代入原方程得：左边16=右边，∴原方程的根为x =5．【解析】解：（1）1x(x+1)=1x -1x+1；（2）（3）见答案【分析】（1）观察一系列等式得出一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子计算即可得到结果；（3）利用得出的规律化简方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．23.【答案】（1）25；65；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中{∠ADB=∠DEC ∠B=∠CAB=DC，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAE=70°，∴∠AED=180°-70°-40°=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAE=40°，∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．【解析】【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°；∠AED=∠EDC+∠C=40°+25°=65°．故答案为25；65；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中{∠ADB=∠DEC ∠B=∠CAB=DC，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAE=70°，∴∠AED=180°-70°-40°=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAE=40°，∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。