第七部分 立体几何与空间向量一、知识梳理（一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理：1。
平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形.［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿；解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为2π. 2。
线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1）βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；（2）αββα//a a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥（3）βαβα////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊂b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿.解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。
直线与平面所成角的围是]2,0[π；两异面直线所成角的围是]2,0(π.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“⊆”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ⊆⊆⊆） 4。
立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a .［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515arccos ）特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角.5。
直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. 1［例］正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，BC 1与平面ACC 1A 1所成 角为30°.试求：（1）三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；（2）点C 到平面BAC 1 的距离. （答案：（1）62.（2）11662） 6.直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）的余弦值等于/S S，其中S 是一个半平面上的图形面积，/S 是此图形在另一平面上的射影图形面积.说明：利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便，但要注意的此法解大题时慎用.7。
长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，对角线长为l ，则2222c b a l ++=.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα；（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.［例］长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1与过A 点的三条棱所成的角分别为γβα,,，若3,4πβπα==，则γ＝（ ） A 、6π； B 、4π； C 、3π、 D 、不确定. （答案：C ） 8.正方体中线面关系可以说是高考中的重点容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.［例1］如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF 与CN 所在的直线平行；（2）CN 与DE 所在的直线异面；（3）CN 与BM 成60°角；（4）DE 与BM 所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是＿；解析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题.［例2］ABCD －A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A 出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 →→111D A AA ，黑蚂蚁爬行的路线是→→1BB AB ，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第2+n 段与第n 段所在直线必须是异面直线（其中N n ∈）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是（ ）A 、1；B 、2；A BCD E F M N A 11C 、3；D 、0.解析：注意到它们的运动规律，都是呈周期运动，运动 周期为6.经过2007次运动，由333462007+⨯=知， 它们运动后所停位置就是第3次运动后所停位置.则它 们都到达C 1点，所以这两蚂蚁之间的距离为0，选D.9.三棱锥顶点在底面三角形射影为三角形的外心、心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.［例］三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（ ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.解析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C. 10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.［例］若一正三棱锥的底面边长是a ，体积为1233a ，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为＿＿＿＿；侧面与底面所成二面角的大小为＿＿＿＿；此三棱锥的侧面积为＿＿＿＿. （答案：3π；32arctg ； 2439a S =侧） 11。
特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等 四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是 高考命题的热点容.［例1］如图三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，=∠ACB 90°， 则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有＿＿＿＿＿个. （答案：4）12。
对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面的两点、 点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间 的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从 平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.［例］如图在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，G 、H 、I 分别是DE 、FC 、EF 的中点.将三角形ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥后，BG 与IH 所成角的大小为（ ） A 、6π； B 、3π； C 、32arccos ； D 、33arccos .SABCAB DEO A DFGIHB Ca a 2 a a a a aa A B D aa a a 2解析：平面图形翻折成三棱锥后，A 、B 、C 重合于一点，BG 是△BED 的中线，HI//BE.所以BG 与HI 所成角为6π.选A. 13.图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化. ［例］下面的一组图形为一四棱锥S －ABCD 的侧面与底面.（1）请画出四棱锥S －ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.（2）求出此四棱锥的体积；（3）设E 是最长侧棱的中点，F 是底面正方形ABCD 的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF 与最短侧棱所成角的大小.解析：这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面的形状先把它拼起来后， 再解题.问题是从立几中解决，因此对于作图能力有一定的要求，作不出图则无法解决. （1）如图知，侧棱SA ⊥底面ABCD.因为侧面SAB 、SAD 都是等腰直角三角形.（2）该四棱锥的体积331a V =；（3）最长侧棱是SC ，E 是SC 中点，取底面边AB 的 中点为F ，最短侧棱为SA.即求EF 与SA 所成角的大小.不难求出此角为4π.二．易错易混易忘知识点提醒：【易错点1】立体图形的截面问题。
1.正方体ABCD --1111A B C D ，E 、F 分别是1AA 、1CC 的中点， P 是1CC 上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面， 若截面为四边形，则P 的轨迹是（）A 、 线段1C FB 、线段CFC 、线段CF 和一点1CD 、线段1C F 和一点C. （答案：C ）【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。