反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数。

可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）； ②1kx y -=（0k ≠）； ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与ykx =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴确定自变量的取值范围，列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的；反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如xky =在第一、第三象限，则可知0k >。

☆反比例函数xky =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。

（1）如图1所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则O EPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k （2）如图2所示，过双曲线上任一点B （x ，y ）分别作x 轴（或y 轴的垂线），A 为垂足，连接AO ，则AOB S ∆=k 21。

☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离图1 图2yA B C D坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。

反比例函数知识点的应用一、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值解：由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得111x y -=，221x y -=，331x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy 1-=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令【例3】如果一次函数()与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）解：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴221111121,122211y x y x x y x y x y x y ，得解方程组双曲线为直线为()11--∴，另一个点为【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限 的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.解:因为双曲线x m y =过点A , m 212=. 所以m =4，双曲线xmy =图像在第一象限，所以4=m二、练习题 1.反比例函数xy 2-=的图像位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）共4页，第2页4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气 球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例 函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时， 气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 3 5．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记RtΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定6、在同一直角坐标系中，函数y=kx+k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）7．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1n x+的图象都经过点A （-2，1）. 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点B 的坐标； （3）△AOB 的面积．9. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx的图象交于与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（12，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．9． 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m 3），那么将满池水排空所需的时间t （h ）将如何变化？（3）写出t 与Q 的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每小时12m 3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？10.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y 关于x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？11．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m y x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。

三、课后作业1．对与反比例函数xy 2=，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限C ．当0>x 时，的增大而增大随x yD ．当0<x 时，的增大而减小随x y 2.已知反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ） A 、（2，1） B 、（2，-1） C 、（2，4） D 、（-1，-2）3．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点，那么1k 和2k的关系一定是（ ） A. 1k +2k =0B. 1k ·2k <0C. 1k ·2k >0D.1k =2k4. 反比例函数y ＝k x的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________． 5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝ 1x的图象上，则m ＝__________．6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．7. 已知反比例函数xmy 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时， 有21y y <，则m 的取值范围是？8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求： (1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

共4页，第4页9. 已知3=b ,且反比例函数xby +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大, 如果点()3,a 在双曲线上xby +=1，求a 是多少？。