生产现场S H O P S O L U T I O N S金属加工汽车工艺与材料 A T&M2009年第7期50机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下，各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。

公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的质量、功能、生产效率以及制造成本。

公差信息是产品信息库中的重要内容，公差模型就是为表示公差信息而建立的数学及物理模型，它是进行公差分析的理论基础。

公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装配公差的过程。

公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。

早期公差分析方法面向的是一维尺寸公差的分析与计算。

Bjorke 则将公差分析拓展到三维空间。

Wang 、C h a s e 、P a b o n 、H o f f m a n 、Lee 、Turner 、Tsai 、Salomons 、Varghese 、Connor 等许多学者也分别提出了各自的理论和方法开展公差分析的研究。

此后，人工智能、专家系统、神经网络、稳健性理论等工具被引入公差分析领域当中，并分别构建了数学模型以解决公差分析问题。

1 公差模型公差模型可分为零件层面的公差信息模型和装配层面的公差拓扑关系模型。

Shan 提出了完整公差模型的建模准则，即兼容性和可计算性准则。

兼容性准则是指公差模型满足产品设计过程的要求，符合ISO 和ASME 标准，能够完整表述所有类型的公差。

可计算性准则是指公差模型可实现与CAD 系统集成、支持过/欠约束、可提取隐含尺寸信息、可识别公差类型，以检查公差分配方案的可行性等。

目前已经提出了很多公差模型表示法，但每一种模型都是基于一些假设，且只部分满足了公差模型的建模准则，至今尚未出现统一的、公认的公差模型。

以下将对几种典型的公差模型加以介绍和评价。

1.1 尺寸树模型Requicha 最早研究了零件层面的公差信息表示，并首先提出了应用于一维公差分析的尺寸树模型。

该模型中，每一个节点是一个水平特征，节点间连线表示尺寸，公差值附加到尺寸值后。

由于一维零件公差不考虑旋转偏差，所有公差都可表示为尺寸值加公差值的形式。

该模型对于简单的一维公差分析十分有效，但却使尺寸和公差的概念模糊不清，而且没有考虑到形状和位置公差的表示。

1.2 漂移公差带模型Requicha 从几何建模的角度，于20世纪80年代提出了漂移公差带模型以定义形状公差。

在这个模型中，形状公差域定义为空间域，公差表面特征需位于此空间域中，同时采用边界表示法（Breps ）建立传统的位置和尺寸公差模型。

对于表面特征和相关公差信息则运用偏差图（VGraph ）来表示。

VGraph 主要是作为一种分解实体表面特征的手段，将实体的边界部分定义为特征，公差信息则封装在特征的属性中。

漂移公差带模型很好地表达了轮廓公差，轮廓公差包含了所有实际制造过程中的偏差。

该模型提供了公差的通用理论且易于实现，但是不能区分不同类型的形状公差。

1.3 矢量空间模型Hoffmann 提出了矢量空间模型，Turner 扩展了这一模型。

矢量空间模型首先需要定义公差变量、设计变量和模型变量。

公差变量表示零件名义尺寸的偏差。

设计变量由设计者确定，用以表示最终装配体的多目标优化函数。

模型变量是控制零件各个公差的独立变量。

由公差模型和公差分析方法的研究讨论了目前工程设计、制造中具有代表性的公差模型的建模、描述和分析的方法。

在此基础上，对于面向刚性件和柔性件装配的公差分析方法的研究现状分别进行了综述和评价，通过对比说明各种分析方法的算法、应用范围及不足。

最后，展望了公差模型和公差分析方法的研究方向及其发展动态。

奇瑞汽车股份有限公司 葛宜银 李国波生产现场2009年第7期51汽车工艺与材料 A T&M于旋转偏差是非线性的，Turner 用模型变量表示旋转偏差旋转方向上的矢量顶点，以便将彼此相关的公差转换成各自独立的模型变量。

矢量空间模型具有以下特点。

(1) 模型变量必须独立，否则就不能保证各个公差彼此独立和矢量的可叠加性。

(2) 矢量空间模型需要定义大量模型变量，即使是一个简单的零件，例如平面上两个圆的尺寸公差，也需要定义至少36个模型变量。

(3) 为把公差约束转换成模型变量，需要对公差约束做一些线性化近似处理，因此可能会在特定环境下出现难以预料的计算误差。

矢量空间模型仅用于进行公差分析，而不能用于识别尺寸链。

对于复杂装配体的多维装配，也不宜运用矢量空间模型进行公差分析。

1.4 虚拟边界模型Srinivasan 和Jayaraman 首先为零件定义一个虚拟边界，并限定该零件位于这个边界的半空间内，然后将虚拟边界变换为公差属性子集的形式。

虚拟边界实际上是满足公差定义的零件偏差的极值边界，所以虚拟边界模型可用于极值公差分析，但不适用于尺寸链复杂的装配体。

1.5 最大实体边界模型Parratt 提出最大实体(MMP)的概念，用以定义在指定公差允许的条件下零件的最大实体。

这与虚拟边界的概念相似，因为零件的MMP 边界也就是虚拟边界模型中的虚拟边界。

MMP 模型对于处理公差带漂移、公差分析、路径规划以及零部件存在偏差的情况下的运动学建模等方面有很大的优势。

1.6 TTRS 模型很多学者基于机构学理论，分别提出利用自由度（DOF ）方法为公差建模。

Bourdet 在计算机辅助检测方面研究成果的基础上，利用自由度方法，提出了TTRS （与工艺和拓扑相关表面）理论。

Riviere 定义TTRS 为，一个TTRS 是同一实体上因功能原因而彼此联系的表面。

TTRS 理论可很好地表示零件层面的公差信息和装配层面的公差拓扑关系。

经过十几年的发展，TTRS 理论已发展为较为成熟且广泛应用的公差表示方法。

2 面向刚性装配的公差分析方法基于零部件在装配时偏差值的处理方式不同，一些学者将公差分析方法分为极值法、统计公差法和蒙特卡罗模拟法。

此外，许多学者从不同数学模型出发，分别提出了各自的公差分析方法。

这些装配公差分析方法具有共同的特点：以刚性零件为研究对象，其装配偏差的累积仅由零件几何和运动关系确定。

下面对几种具有代表性的面向刚性装配的公差分析方法加以论述。

2.1 极值法极值公差法又称为代数和法。

这种方法在计算装配公差时，假定各零件的尺寸同时处于极限值。

极值法的计算方法为T Y =Σ αi T i （1）式中，T Y 、T i 分别为封闭环（Y ）、第i 个组成环的公差；αi 表示零件i 的偏差。

极值法计算公差主要适用于以下方面。

(1) 要求保证完全互换、公差等级较高、组成环环数较少的尺寸链。

(2) 要求保证完全互换、公差等级中等、组成环环数较多的尺寸链，如枪械等一般军工产品。

(3) 公差比较宽松、没有必要进行十分准确计算的尺寸链。

极值法计算简单且计算量小，但是按照这种方法确定的零件公差偏小，常常导致产品成本升高。

2.2 统计公差法统计公差法在计算装配公差时，假定各零件公差服从正态分布，装配公差与零件公差之间是线性关系，通过假设使得实际情况得到了简化。

其计算公式是： T Y =Z [Σ(αi T i /Z i )2]0.5 （2）式中，Z 、Z i 分别为Y 和第i 个变量的偏差系数。

统计公差分析方法由于考虑了零件尺寸的统计分布，对实际产品制造过程的建模更接近于实际。

与极值法相比，统计公差法可得到更接近于实际的装配公差的估计，并允许零件有较宽的公差带。

线性情况在机械装配中较为普遍并且计算简单，因此这种方法应用广泛。

2.3 Monte Carlo 模拟法Monte Carlo 模拟法是一种统计试验法，根据每个尺寸的实际分布，利用随机数发生器生成相应的伪随机数，然后计算设计函数的值。

当得到一定数量的样本后，根据统计公式计算出统计函数的各阶矩，从而获得有关装配函数的统计特性。

Monte Carlo 模拟法在非线性设计函数中，是最常用和最简单的一种公差分析方法，且已被广泛用于VSA 系列软件包中。

Monte Carlo 方法虽然能够处理由装配关系或零件的弹性变形所引起的非线性装配函数，但该方法仍存在以下缺陷。

(1) 蒙特卡罗方法的精度正比于样本量的平方根，因此为保证计算的正确性，需要大量的统计样本ni =1i =1n生产现场S H O P S O L U T I O N S金属加工汽车工艺与材料 A T&M 2009年第7期52进行多次重复运算，计算次数一般在20万次以上，导致计算时间过长。

(2) 如果装配函数中各分量的均值或方差发生改变，需要重新进行运算。

文献提出利用基于数论网格点集的数论序贯优化算法改进Monte Carlo 方法。

与Monte Carlo 方法产生的随机点集相比，数论网格点集的分布更为均匀。

序贯优化算法在保证获得全局最优解的同时，还显著减少了计算量。

2.4 田口试验法20世纪50年代初，日本电讯研究所（ECL ）以田口为首的一批研究人员为改进产品和系统质量、提高生产率，提出了田口试验法。

它将所有对试验结果有影响的一系列因素在试验中加以考察、进行比较，然后进行水平组合，是试验设计中的一种有效方法。

试验设计的目的在于寻求试验因素的适宜水平组合，实现质量系统的相对优化。

基于田口试验法的公差分析方法符合产品的实际设计过程，计算简单，对设计函数不必求偏导数，因而具有较为广泛的应用空间。

但它要求组成环数目不能太多，一般应用于组成环数目小于10的场合。

2.5 泰勒级数展开法当可以计算出设计函数各阶偏导数的情况下，可以采用泰勒级数展开法，将函数Y 展开，再计算出Y 的各阶中心矩。

这种方法需要计算偏导数，计算复杂。

2.6 其他公差分析方法文献提出了稳健设计理论在公差分析中的应用。

稳健性是指因素状态发生微小波动对因变量影响的不敏感性。

基于这一思想，对产品的性能、质量和成本综合考虑做出最佳设计，这种工程设计方法为稳健设计。

因此减小产品对制造尺寸波动的敏感性，可提高产品的稳健性和可制造性。

文献根据并行公差设计原则，利用对加工环境进行历史统计得出的各种加工方法的工序能力，提出了基于制造环境的统计公差分析法，为保证设计质量提供了有利的依据。

此外，还有基于可靠度的公差分析法、矩方法、数值积分方法等。

3 面向柔性件装配的公差分析方法1980年，Takezawa 根据对汽车柔性薄板件装配测量数据的回归研究指出，基于刚体假设的偏差累积理论难以适用于柔性薄板冲压件的装配，其装配体偏差可以小于零件偏差，并接近于刚性较大的零件。

20世纪90年代初，美国密西根大学将有限元和统计理论相结合，率先开始了有关柔性件装配公差分析的系统性理论研究。