2022年湖北省黄石市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）1−√2的绝对值是（）A．1−√2B．√2−1C．1+√2D．±（√2−1）2．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆3．（3分）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a9﹣a7＝a2B．a6÷a3＝a2C．a2•a3＝a6D．（﹣2a2b）2＝4a4b25．（3分）函数y=x√x+31x−1的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x＞﹣3D．x≥﹣3且x≠1 6．（3分）我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差7．（3分）如图，正方形OABC 的边长为√2，将正方形OABC 绕原点O 顺时针旋转45°，则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．（−√2，0）B ．（√2，0）C ．（0，√2）D ．（0，2）8．（3分）如图，在△ABC 中，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧分别相交于M ，N 两点，作直线MN ，分别交线段BC ，AC 于点D ，E ，若AE ＝2cm ，△ABD 的周长为11cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．13cmB ．14cmC ．15cmD ．16cm9．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R ，图1中圆内接正六边形的周长l 6＝6R ，则π≈l 62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共8小题，第11-14每小题3分，第15-18每小题3分，共28分）11．（3分）计算：（﹣2）2﹣（2022−√3）0＝．12．（3分）分解因式：x3y﹣9xy＝．13．（3分）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复．用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为元．14．（3分）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是．15．（3分）已知关于x的方程1x +1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是．16．（3分）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）17．（3分）如图，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（7分）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．21．（8分）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：等级一般较好良好优秀阅读量/本3456频数12a144频率0.240.40b c请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了名学生；表中a＝，b＝，c ＝；（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．22．（8分）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为；（2）间接应用：已知实数a ，b 满足：2a 4﹣7a 2+1＝0，2b 4﹣7b 2+1＝0且a ≠b ，求a 4+b 4的值； （3）拓展应用： 已知实数x ，y 满足：1m 4+1m 2=7，n 2﹣n ＝7且n ＞0，求1m 4+n 2的值．23．（9分）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y （单位：人）与时间x （单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y ={ax 2+bx +c(0≤x ≤8)640，(8＜x ≤10)，数据如表． 时间x （分钟） 0 1 2 3 … 8 8＜x ≤10 累计人数y （人）150280390…640640（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？24．（10分）如图CD 是⊙O 直径，A 是⊙O 上异于C ，D 的一点，点B 是DC 延长线上一点，连AB 、AC 、AD ，且∠BAC ＝∠ADB ． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若BC ＝2OC ，求tan ∠ADB 的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD 的平分线AP 交⊙O 于P ，交CD 于E ，连PC 、PD ，若AB ＝2√6，求AE •AP 的值．25．（12分）如图，抛物线y =−23x 2+23x +4与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．（1）A ，B ，C 三点的坐标为 ， ， ．（2）连接AP ，交线段BC 于点D ， ①当CP 与x 轴平行时，求PD DA的值； ②当CP 与x 轴不平行时，求PD DA的最大值；（3）连接CP ，是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCB ＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．2022年湖北省黄石市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）1−√2的绝对值是（）A．1−√2B．√2−1C．1+√2D．±（√2−1）【解答】解：1−√2的绝对值是√2−1；故选：B．2．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．（3分）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a9﹣a7＝a2B．a6÷a3＝a2C．a2•a3＝a6D．（﹣2a2b）2＝4a4b2【解答】解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意B．原式＝a3，故B不符合题意C．原式＝a5，故C不符合题意D．原式＝4a4b2，故D符合题意．故选：D．5．（3分）函数y=√x+31x−1的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x＞﹣3D．x≥﹣3且x≠1【解答】解：函数y=x√x+3+1x−1的自变量x的取值范围是：x+3＞0，且x﹣1≠0，解得：x＞﹣3且x≠1．故选：B．6．（3分）我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【解答】解：由于总共有10个人，要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．故选：C．7．（3分）如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A ．（−√2，0）B ．（√2，0）C ．（0，√2）D ．（0，2）【解答】解：如图，连接OB ， ∵正方形OABC 的边长为√2，∴OC ＝BC =√2，∠BCO ＝90°，∠BOC ＝45°， ∴OB =√OC 2+BC 2=√(√2)2+(√2)2=2，∵将正方形OABC 绕原点O 顺时针旋转45°后点B 旋转到B 1的位置， ∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2， ∴点B 1的坐标为（0，2）， 故选：D ．8．（3分）如图，在△ABC 中，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧分别相交于M ，N 两点，作直线MN ，分别交线段BC ，AC 于点D ，E ，若AE ＝2cm ，△ABD 的周长为11cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．13cmB ．14cmC ．15cmD ．16cm【解答】解：由作法得MN 垂直平分AC ， ∴DA ＝DC ，AE ＝CE ＝2cm ，∵△ABD的周长为11cm，∴AB+BD+AD＝11cm，∴AB+BD+DC＝11cm，即AB+BC＝11cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝11+2×2＝15（cm）．故选：C．9．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈l62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈12×2R×sin15°2R=12sin15°，故选：A．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即−b2a=−1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x1＝﹣3，x2＝1，∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，第11-14每小题3分，第15-18每小题3分，共28分）11．（3分）计算：（﹣2）2﹣（2022−√3）0＝3．【解答】解：原式＝4﹣1＝3．故答案为：3．12．（3分）分解因式：x 3y ﹣9xy ＝ xy （x +3）（x ﹣3） ． 【解答】解：x 3y ﹣9xy ， ＝xy （x 2﹣9）， ＝xy （x +3）（x ﹣3）．13．（3分）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复．用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为 1.1×1012 元．【解答】解：1.1万亿＝1100000000000＝1.1×1012． 故答案为：1.1×1012．14．（3分）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 90° ．【解答】解：根据题意得：{αβ=0.6α+β=360°，解得{α=135°β=225°，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°， 故答案为：90°．15．（3分）已知关于x 的方程1x +1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a 的取值范围是 a ＜1且a ≠0 ．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ， 解得：x ＝a ﹣1， ∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1， ∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a＜1且a≠0．16．（3分）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为12.7m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，设DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=x BE=√3，解得BE=√33x，则AE＝AB+BE＝（20+√33x）m，在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=20+√33x=√33，解得x=10√3≈17.3，经检验，x=10√3≈17.3是原方程的解，且符合题意，∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．故答案为：12.7．17．（3分）如图，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝8．【解答】解：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，设点A （a ，ka ），C （c ，0），∵点E 是矩形ABCD 的对角线的交点， ∴E （a+c 2，k 2a），∵点E 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴a+c 2⋅k 2a=k ，∴c ＝3a ，∵△OCE 的面积为6， ∴12OC •EH =12c •k 2a=12×3a •k2a=6，∴k ＝8， 故答案为：8．18．（3分）如图，等边△ABC 中，AB ＝10，点E 为高AD 上的一动点，以BE 为边作等边△BEF ，连接DF ，CF ，则∠BCF ＝ 30° ，FB +FD 的最小值为 5√3 ．【解答】解：如图，∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥CB ， ∴∠BAE =12∠BAC ＝30°， ∵△BEF 是等边三角形，∴∠EBF ＝∠ABC ＝60°，BE ＝BF ， ∴∠ABE ＝∠CBF ， 在△BAE 和△BCF 中， {BA =BC∠ABE =∠CBF BE =BF， ∴△BAE ≌△BCF （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠BCF ＝30°，作点D 关于CF 的对称点G ，连接CG ，DG ，BG ，BG 交CF 于点F ′，连接DF ′，此时BF ′+DF ′的值最小，最小值＝线段BG 的长． ∵∠DCF ＝∠FCG ＝30°， ∴∠DCG ＝60°， ∵CD ＝CG ＝5，∴△CDG 是等边三角形， ∴DB ＝DC ＝DG ， ∴∠CGB ＝90°，∴BG =√BC 2−CG 2=√102−52=5√3， ∴BF +DF 的最小值为5√3， 故答案为：30°，5√3．三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（7分）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a 2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．【解答】解：原式=a+3a+1÷(a+3)2a+1=a+3a+1•a+1(a+3)2=1a+3，由分式有意义的条件可知：a 不能取﹣1，﹣3， 故a ＝2， 原式=12+3 =15．20．（8分）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且点D 在线段BC 上，连CE ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠EAC ＝60°，求∠CED 的度数．【解答】（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠DAE ﹣∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中， {AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）； （2）解：∵△ABD ≌△ACE ， ∴∠ACE ＝∠ABD ，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴∠ACE ＝∠ABD ＝∠AED ＝45°， ∵∠EAC ＝60°，∴∠AEC ＝180°﹣∠ACE ﹣∠EAC ＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠CED ＝∠AEC ﹣∠AED ＝75°﹣45°＝30°．21．（8分）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：等级一般较好良好优秀阅读量/本3456频数12a144频率0.240.40b c请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了50名学生；表中a＝20，b＝0.28，c＝0.08；（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名），∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08，故答案为：50，20，0.28，0.08；（2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，∴所抽查学生阅读量的众数为4，平均数为：150×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2；（3）画树状图如下：共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，∴所选2名同学中有男生的概率为612=12．22．（8分）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2已知实数m ，n 满足m 2﹣m ﹣1＝0，n 2﹣n ﹣1＝0，且m ≠n ，显然m ，n 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m +n ＝1，mn ＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程x 4﹣5x 2+6＝0的解为 x 1=√2，x 2=−√2，x 3=√3，x 4=−√3 ； （2）间接应用：已知实数a ，b 满足：2a 4﹣7a 2+1＝0，2b 4﹣7b 2+1＝0且a ≠b ，求a 4+b 4的值； （3）拓展应用： 已知实数x ，y 满足：1m 4+1m 2=7，n 2﹣n ＝7且n ＞0，求1m 4+n 2的值．【解答】解：（1）令y ＝x 2，则有y 2﹣5y +6＝0， ∴（y ﹣2）（y ﹣3）＝0， ∴y 1＝2，y 2＝3， ∴x 2＝2或3，∴x 1=√2，x 2=−√2，x 3=√3，x 4=−√3； 故答案为：x 1=√2，x 2=−√2，x 3=√3，x 4=−√3；（2）∵a ≠b ， ∴a 2≠b 2或a 2＝b 2，当a 2≠b 2时，令a 2＝m ，b 2＝n ．∴m ≠n ，则2m 2﹣7m +1＝0，2n 2﹣7n +1＝0， ∴m ，n 是方程2x 2﹣7x +1＝0的两个不相等的实数根， ∴{m +n =72mn =12， 此时a 4+b 4＝m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn =454． ②当a 2＝b 2（a ＝﹣b ）时，a 2＝b 2=7±√414，此时a 4+b 4＝2a 4＝2（a 2）2=45±7√414， 综上所述，a 4+b 4=454或45±√414．（3）令1m 2=a ，﹣n ＝b ，则a 2+a ﹣7＝0，b 2+b ﹣7＝0，∵n ＞0， ∴1m 2≠−n ，即a ≠b ，∴a ，b 是方程x 2+x ﹣7＝0的两个不相等的实数根， ∴{a +b =−1ab =−7， 故1m 4+n 2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝15．23．（9分）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y （单位：人）与时间x （单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y ={ax 2+bx +c(0≤x ≤8)640，(8＜x ≤10)，数据如表． 时间x （分钟） 0 1 2 3 … 8 8＜x ≤10 累计人数y （人）150280390…640640（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 【解答】解：（1）由题意，{c =0a +b =1504a +2b =280，解得，{a =−10b =160c =0；（2）设第x 分钟时的排队人数为W ， 根据题意得：W ＝y ﹣20x ， ∴W ={−10x 2−140x(0≤x ≤8)640−20x (x ＞8)，当0≤x ≤8时，W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴当x＝7时，W最大＝490，当x＞8时，W＝640﹣20x，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，∴W＜480，故排队人数最多时有490人；（3）要全部学生都完成体温检测，根据题意得：640﹣20x＝0，解得：x＝32，所以全部学生都完成体温检测要32分钟；开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：5×20（m+4）≥640，解得：m≥2.4，∵m为整数，∴m＝3，答：从一开始就应该至少增加3个检测点．24．（10分）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2√6，求AE•AP的值．【解答】（1 ）证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴ACAD =BC AB，设半径OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB=√OB2−OA2=√(3r)2−r2=2√2r，在Rt△CAD中，tan∠ADC=ACAD=BCBA=2r2√2r=√22，∵∠BAC＝∠ADB，∴tan∠BAC＝tan∠ADC=√2 2；（3）解：在（2）的条件下，AB＝2√2r＝2√6，∴r =√3，∴CD ＝2√3，在Rt △CAD 中，AC AD =√22，AC 2+AD 2＝CD 2， 解得AC ＝2，AD ＝2√2，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP ＝∠EAD ，又∵∠APC ＝∠ADE ，∴△CAP ∽EAD ，∴AC AE =AP AD ，∴AE •AP ＝AC •AD ＝2×2√2=4√2．25．（12分）如图，抛物线y =−23x 2+23x +4与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．（1）A ，B ，C 三点的坐标为 （﹣2，0） ， （3，0） ， （0，4） ．（2）连接AP ，交线段BC 于点D ，①当CP 与x 轴平行时，求PD DA 的值；②当CP 与x 轴不平行时，求PD DA的最大值； （3）连接CP ，是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCB ＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x ＝0，则y ＝4，∴C （0，4）；令y ＝0，则−23x 2+23x +4＝0，∴x ＝﹣2或x ＝3，∴A （﹣2，0），B （3，0）．故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP ∥x 轴，C （0，4），∴P （1，4），∴CP ＝1，AB ＝5，∵CP ∥x 轴，∴PD DA =CP AB =15． ②如图，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，∴直线BC 的解析式为：y =−43x +4．设点P 的横坐标为m ，则P （m ，−23m 2+23m +4），Q （12m 2−12m ，−23m 2+23m +4）． ∴PQ ＝m ﹣（12m 2−12m ）=−12m 2+32m ， ∵PQ ∥AB ，∴PD DA =PQ AB =−12m 2+32m 5=−110（m −32）2+940， ∴当m =32时，PD DA 的最大值为940． 另解：分别过点P ，A 作y 轴的平行线，交直线BC 于两点，仿照以上解法即可求解．（3）假设存在点P 使得∠BCO +2∠BCP ＝90°，即0＜m ＜3．过点C 作CF ∥x 轴交抛物线于点F ，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延长CP交x轴于点M，∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直线CM的解析式为：y=−12x+4，令−23x2+23x+4=−12x+4，解得x=74或x＝0（舍），∴存在点P满足题意，此时m=7 4．。