2009年安徽省中考数学试卷(教师版)一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.(4分)(﹣3)2的值是()A.9 B.﹣9 C.6 D.﹣6【微点】有理数的乘方.【思路】本题考查有理数的乘方运算,(﹣3)2表示2个(﹣3)的乘积.【解析】解:(﹣3)2=9.故选:A.【点拨】乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.2.(4分)如图,直线l1∥l2,则∠α为()A.150°B.140°C.130°D.120°【微点】对顶角、邻补角;同位角、内错角、同旁内角;平行线的性质.【思路】本题主要利用两直线平行,同旁内角互补以及对顶角相等进行做题.【解析】解:∵l1∥l2,∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°﹣130°=50°,又∵∠α与(70°+∠1)的角是对顶角,∴∠α=70°+50°=120°.故选:D.【点拨】本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等,是一道较为简单的题目.3.(4分)下列运算正确的是()A.a2•a3=a6B.(﹣a)4=a4C.a2+a3=a5D.(a2)3=a5【微点】合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.【思路】根据幂的运算性质和合并同类项法则,对各选项分析判断后利用排除法求解.【解析】解:A、应为a2•a3=a5,故本选项错误;B、(﹣a)4=a4,正确;C、a2和a3不是同类项不能合并,故本选项错误;D、应为(a2)3=a2×3=a6,故本选项错误.故选:B.【点拨】本题主要考查:合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,熟练掌握法则和运算性质是解题的关键,要注意不是同类项的不能合并.4.(4分)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是()A.8 B.7 C.6 D.5【微点】分式方程的应用.【思路】工效常用的等量关系是:工效×时间=工作总量,本题的等量关系为:甲工作量+乙工作量=1,根据从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,本题需注意甲比乙多做2天.【解析】解:方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天,故甲的工效都为:,由于甲、乙两人工效相同,则乙的工效为甲前两个工作日完成了,剩余的工作量甲完成了,乙在甲工作两个工作日后完成了,则1,解得x=8,经检验,x=8是原方程的解.故选:A.方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天,则一天完成工作总量的,由于甲、乙两人工效相同,则乙的一天完成工作总量的,甲实际工作了(a﹣3)天,乙比甲少工作两天,实际工作了(a﹣5)天,即用甲的工作量加乙的工作量=1,建立方程(a﹣3)(a﹣5)=1,∴a=8,故选:A.【点拨】本题主要考查分式方程的应用,还考查了工效×时间=工作总量这个等量关系.5.(4分)一个长方体的三视图如图所示,若其俯视图为正方形,则这个长方体的高和底面边长分别为()A.3,B.2,C.3,2 D.2,3【微点】简单几何体的三视图;由三视图判断几何体.【思路】由俯视图和主视图知道棱柱顶的正方形对角线长是,根据勾股定理列出方程求解.【解析】解:设底面边长为x,则x2+x2,解得x=2,即底面边长为2,根据图形,这个长方体的高是3,根据求出的底面边长是2,只能选C,故选:C.【点拨】考查三视图以及学生的空间想象能力.6.(4分)某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是()A.B.C.D.【微点】列表法与树状图法.【思路】列举出所有情况,看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可.【解析】解:男1 男2 男3 女1 女2男1 一一√√男2 一一√√男3 一一√√女1 √√√一女2 √√√一∴共有20种等可能的结果,P(一男一女).故选:B.【点拨】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A).7.(4分)某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2008年增长7%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是()A.12%+7%=x%B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)C.12%+7%=2•x%D.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2【微点】由实际问题抽象出一元二次方程.【思路】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值,由此可得到一个方程,即x%满足的关系式.【解析】解:若设2007年的国内生产总值为y,则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为:2008年国内生产总值:y(1+x%)或y(1+12%),所以1+x%=1+12%,今年的国内生产总值:y(1+x%)2或y(1+12%)(1+7%),所以(1+x%)2=(1+12%)(1+7%).故选:D.【点拨】本题主要考查增长率问题,然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程.8.(4分)已知函数y=kx+b的图象如图,则y=2kx+b的图象可能是()A.B.C.D.【微点】一次函数的图象.【思路】由图知,函数y=kx+b图象过点(0,1),即k>0,b=1,再根据一次函数的特点解答即可.【解析】解:∵由函数y=kx+b的图象可知,k>0,b=1,∴y=2kx+b=2kx+1,2k>0,∴2k>k,可见一次函数y=2kx+b图象与x轴的夹角,大于y=kx+b图象与x轴的夹角.∴函数y=2kx+1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角大.故选:C.【点拨】一次函数y=kx+b的图象有四种情况:①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限;②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限;③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限;④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.9.(4分)如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD,BD,则AB的长为()A.2 B.3 C.4 D.5【微点】勾股定理;垂径定理;相交弦定理.【思路】根据垂径定理和相交弦定理求解.【解析】解:连接OD.由垂径定理得HD,由勾股定理得HB=1,设圆O的半径为R,在Rt△ODH中,OH=R﹣1,DH则R2=()2+(R﹣1)2,由此得2R=3,或由相交弦定理得()2=1×(2R﹣1),由此得2R=3,所以AB=3故选:B.【点拨】本题主要考查:垂径定理、勾股定理或相交弦定理.10.(4分)△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是()A.120°B.125°C.135°D.150°【微点】三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;三角形的内切圆与内心.【思路】本题求的是∠AIB的度数,而题目却没有明确告诉任何角的度数,因此要从隐含条件入手;CD是AB边上的高,则∠ADC=90°,那么∠BAC+∠ACD=90°;I是△ACD的内心,则AI、CI分别是∠DAC和∠DCA的角平分线,即∠IAC+∠ICA=45°,由此可求得∠AIC的度数;再根据∠AIB和∠AIC的关系,得出∠AIB.【解析】解:如图.∵CD为AB边上的高,∴∠ADC=90°,∴∠BAC+∠ACD=90°;又∵I为△ACD的内切圆圆心,∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线,∴∠IAC+∠ICA(∠BAC+∠ACD)90°=45°,∴∠AIC=135°;又∵AB=AC,∠BAI=∠CAI,AI=AI;∴△AIB≌△AIC(SAS),∴∠AIB=∠AIC=135°.故选:C.【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形的性质;难点在于根据题意画图,由于没任何角的度数,需要充分挖掘隐含条件.此类题学生丢分率较高,需注意.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.(5分)如图,将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图,则表示短信费的扇形圆心角的度数为72度.【微点】扇形统计图.【思路】根据扇形统计图的定义,各部分占总体的百分比之和为1.则短信费占总体的百分比为:1﹣4%﹣43%﹣33%=20%,乘以360°即可得到所对圆心角的度数.【解析】解:由图可知,短信费占总体的百分比为:1﹣4%﹣43%﹣33%=20%,故其扇形圆心角的度数为20%×360°=72°.【点拨】本题主要考查扇形统计图的定义及扇形圆心角的计算.12.(5分)分解因式:a2﹣b2﹣2b﹣1=(a+b+1)(a﹣b﹣1).【微点】因式分解﹣分组分解法.【思路】首先将后三项组合利用完全平方公式分解因式,进而利用平方差公式分解即可.【解析】解:a2﹣b2﹣2b﹣1=a2﹣(b2+2b+1)=a2﹣(b+1)2=(a+b+1)(a﹣b﹣1).故答案为:(a+b+1)(a﹣b﹣1).【点拨】此题主要考查了分组分解法分解因式,熟练利用公式是解题关键.13.(5分)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了2()m.【微点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【思路】利用所给角的正弦函数求两次的高度,相减即可.【解析】解:由题意知:平滑前梯高为4•sin45°=4•.平滑后高为4•sin60°=4•.∴升高了2()m.故答案为:2()【点拨】本题重点考查了三角函数定义的应用.14.(5分)已知二次函数的图象经过原点及点(,),且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,求该二次函数的解析式.【微点】待定系数法求二次函数解析式.【思路】由于点(,)不在坐标轴上,与原点的距离为1的点有两种情况:点(1,0)和(﹣1,0),所以用待定系数法求解需分两种情况:(1)经过原点及点(,)和点(1,0),设y=ax(x+1),可得y=x2+x;(2)经过原点及点(,)和点(﹣1,0),设y=ax(x﹣1),则得y x2x.【解析】解:根据题意得,与x轴的另一个交点为(1,0)或(﹣1,0),因此要分两种情况:(1)过点(﹣1,0),设y=ax(x+1),则,解得:a=1,∴抛物线的解析式为:y=x2+x;(2)过点(1,0),设y=ax(x﹣1),则,解得:a,∴抛物线的解析式为:y x2x.【点拨】本题主要考查二次函数的解析式的求法.解题的关键利用了待定系数法确定函数的解析式.三、解答题(共9小题,满分90分)15.(8分)计算:|﹣2|+2sin30°﹣()2+(tan45°)﹣1.【微点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【思路】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解析】解:原式=2+1﹣3+1=1.【点拨】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.16.(8分)如图,MP切⊙O于点M,直线PO交⊙O于点A、B,弦AC∥MP,求证:MO∥BC.【微点】平行线的判定;切线的性质.【思路】证MO∥BC,只需证明同位角∠MOP=∠B即可.【解析】证明:∵AB是⊙O的直径,∠ACB是直径所对的圆周角,∴∠ACB=90°.∵MP为⊙O的切线,∴∠PMO=90°.∵MP∥AC,∴∠P=∠CAB.∴∠MOP=∠B.故MO∥BC.【点拨】本题主要考查切线的性质及平行线的判定.17.(8分)观察下列等式:11,22,33,…(1)猜想并写出第n个等式;(2)证明你写出的等式的正确性.【微点】规律型:数字的变化类.【思路】(1)等号左边第一个因数为整数,与第二个因数的分子相同,第二个因数的分母比分子多1;等号右边为等号左边的第一个数式﹣第二个因数,即n n;(2)把左边进行整式乘法,右边进行通分.【解析】解:(1)猜想:n n;(2)证:右边左边,即n n.【点拨】主要考查:等式找规律,难点是怎样证明,不是验证.此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想.18.(8分)如图,在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形;(2)设P(x,y)为△OAB边上任一点,依次写出这几次变换后点P对应点的坐标.【微点】作图﹣轴对称变换;作图﹣平移变换;作图﹣位似变换.【思路】分别根据位似变换、轴对称、平移的作图方法作图即可;根据这些变换的特点可求出变换后点P对应点的坐标.【解析】解:(1)如图,先把△ABC作位似变换,扩大2倍,再作关于y轴对称的三角形,然后向右平移4个单位,再向上平移5个单位.(2)设坐标纸中方格边长为单位1,则P(x,y)以O为位似中心放大为原来的2倍(2x,2y),经y轴翻折得到(﹣2x,2y),再向右平移4个单位得到(﹣2x+4,2y),再向上平移5个单位得到(﹣2x+4,2y+5).【点拨】本题主要考查:位似变换、轴对称、平移.此题隐含着逆向思维.19.(10分)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,如图所示.已知每个菱形图案的边长cm,其一个内角为60度.(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?【微点】菱形的性质;解直角三角形.【思路】(1)首先根据菱形的性质和锐角三角函数的概念求得菱形的对角线的长,再结合图形发现L=菱形对角线的长+(231﹣1)d;(2)设需要x个这样的图案,仍然根据L=菱形对角线的长+(x﹣1)d进行计算.【解析】解:(1)菱形图案水平方向对角线长为BD=2BO=2AB cos∠ABO=10cos30°×2=30cm,按题意,L=30+26×(231﹣1)=6010cm.(2)当d=20cm时,设需x个菱形图案,则有:30+20×(x﹣1)=6010,解得x=300,即需300个这样的菱形图案.【点拨】此题主要考查根据图形找规律,同时也考查了解直角三角形有关知识.20.(10分)如图,将正方形沿图中虚线(其中x<y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).(1)画出拼成的矩形的简图;(2)求的值.【微点】作图—应用与设计作图.【思路】(1)已知中的①和②,③和④形状大小分别完全相同,结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形,②③能拼成一个直角三角形,并且这两个直角三角形形状大小相同,利用这两个直角三角形即可拼成矩形;(2)利用拼图前后的面积相等,可列:[(x+y)+y]y=(x+y)2,整理即可得到答案.【解析】解:(1)如图;(5分)(说明:其它正确拼法可相应赋分.)(2)解:由拼图前后的面积相等得:[(x+y)+y]y=(x+y)2,可得:x2+xy﹣y2=0,因为y≠0,再除以y2得到:,解得:或(负值不合题意,舍去).【点拨】本题主要考查:学生动手能力,但此题与平时训练的题正好逆过来,要求由正方形变成矩形,逆向思维.难点是求:“”的值,学生平时没有做过这种类型,丢分率高.21.(12分)某校九年级学生共900人,为了解这个年级学生的体能,从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试,并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理,下图是这四名同学提供的部分信息:甲:将全体测试数据分成6组绘成直方图(如图);乙:跳绳次数不少于105次的同学占96%;丙:第①、②两组频率之和为0.12,且第②组与第⑥组频数都是12;丁:第②、③、④组的频数之比为4:15.根据这四名同学提供的材料,请解答如下问题:(1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人?(2)如果跳绳次数不少于135次为优秀,根据这次抽查的结果,估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少?(3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表,估计这批学生1min跳绳次数的平均值.【微点】用样本估计总体;频数(率)分布直方图;加权平均数.【思路】(1)由直方图中,各组频率之和为1,可求出②③组的频率,再根据②③组的频数结合频数与频率的关系可求得总数;(2)从图中可以看出,第⑤⑥组的频数在135以上,故这两组优秀,所以用它们的频率乘总数;可估计总体;(3)直接根据平均数的计算公式计算即可.【解析】解:(1)∵跳绳次数不少于105次的同学占96%,即②③④⑤⑥组人数占96%,第①组频率为:1﹣96%=0.04.∵第①、②两组频率之和为0.12,∴第②组频率为:0.12﹣0.04=0.08,又∵第②组频数是12,∴这次跳绳测试共抽取学生人数为:12÷0.08=150(人),∵②、③、④组的频数之比为4:15,∴12÷4=3人,∴可算得第①~⑥组的人数分别为:①150×0.04=6人;②4×3=12人,③17×3=51人,④15×3=45人,⑥与②相同,为12人,⑤为150﹣6﹣12﹣51﹣45﹣12=24人.答:这次跳绳测试共抽取150名学生,各组的人数分别为6、12、51、45、24、12;(2)第⑤、⑥两组的频率之和为=0.16+0.08=0.24,由于样本是随机抽取的,估计全年级有900×0.24=216人达到跳绳优秀,答:估计全年级达到跳绳优秀的有216人;(3)127次,答:这批学生1min跳绳次数的平均值为127次.【点拨】本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识.要理解各组频率之和为1,各组频数之和等于总数.22.(12分)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形;(2)连接FG,如果α=45°,AB,AF=3,求FG的长.【微点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形.【思路】(1)根据已知条件,∠DME=∠A=∠B=α,结合图形上的公共角,即可推出△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM,△AMF∽△BGM;(2)根据相似三角形的性质,推出BG的长度,依据锐角三角函数推出AC的长度,即可求出CG、CF的长度,继而推出FG的长度.【解析】解:(1)△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM,(2)当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC,∵M为AB的中点,∴AM=BM=2,∵∠DME=∠A=∠B=α,∠FMB是△AFM的外角,∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB,∴∠AFM=∠GMB,∴△AMF∽△BGM,∴∴BG,AC=BC=4cos45°=4,∴CG=4,CF=4﹣3=1,∴FG.【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质,解题的关键找到相似的三角形,根据其性质求出BG、AC的长度.23.(14分)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示.(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义;(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的函数关系式;在图2的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果;(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.【微点】一次函数的应用;二次函数的应用.【思路】(1)(2)中要注意变量的不同的取值范围;(3)可根据图中给出的信息,用待定系数的方法来确定函数.然后根据函数的特点来判断所要求的值.【解析】解:(1)图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果,可按5元/kg批发,图②表示批发量高于60kg的该种水果,可按4元/kg批发;(2)由题意得:,函数图象如图所示.由图可知批发量超过60时,价格在4元中,所以资金金额满足240<w≤300时,以同样的资金可批发到较多数量的该种水果;(3)设日最高销售量为xkg(x>60),日零售价为p,设x=pk+b,则由图②该函数过点(6,80),(7,40),代入可得:x=320﹣40p,于是p销售利润y=x(4)(x﹣80)2+160当x=80时,y最大值=160,此时p=6,即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可获得最大利润160元.【点拨】主要考查分段函数、一次函数、二次函数的性质和应用,难点在于分段函数不熟.。