20XX 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。

答：长度（m ）2分 质量（kg ）2分 时间（s ）2分 电流（A ）1分 热力学温度（K ）1分 发光强度（cd ）1分 物质的量（mol ）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。

求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021V L L C=- 4分220714L V C L =-=2分（2）221V L L C'=- 2分337.5m = 2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。

若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3109.28-⨯=μ千克/摩尔。

1. 内质量： 330V 910M 28.91011.6V 22.4μ-⨯=∙=⨯⨯=（千克） 3分2. 由气体状态方程可得：RT MV μ=0P 2分RT M V P 222NN N μ=1分0.78442828.90.76MM P P 222N N 0N =⨯=∙=∴μμ()atm 0.78440.7844P P 0N 2==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radDϕλδ-==⨯ 2分可分辨最小间距：77102.23500005y =⨯⨯=∙=-ϕδδL (米) 1分 看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。

（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。

（设水的摩尔等压热容量为C p ，每杯水的量为ν摩尔） 解：（1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为T 1和T 2变为2T 21+T .设摩尔等压热容量为P C ，每杯水为νmol 。

p p dQ C ndT=则:p p dQ C dT ν= （3分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和：对第一杯水熵变：121211T 221211S ln2T T T P P T T C dTT T dQC TTT νν+++∆===⎰⎰ （1分） 对第二杯水熵变：121222T 221222ln2T T T P P T T C dTT T dQS C TTT νν+++∆===⎰⎰（1分） 总熵变为：()212121212P 1212S S C ln ln ln 224P T T T T T T S C T T TT νν+⎛⎫++∆=∆+∆=+= ⎪⎝⎭（1分） （2）.由：22121212T 2S ln 4P T TT C TT ν++∆=212221212T ,T T T T T >+∴≠2212121212P 1212T 222S ln C ln 044P T TT TT TT C TT TT νν+++∴∆=>= （2分）即0>∆S 。

此过程熵增加。

（2分）水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。

五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？解：.M 的投射光为线偏光，设光强为m I ，它振动的方向与晶轴夹角45。

，故晶体出射光强：m m e I I I 2145cos 2==。

m m o I I I 2145sin 2==。

此时o ，e 光（在劈背）光程差： 2()o e dn n πδλ=-主o ，e 光出射后的光强： m e eN I I I 4145cos 2==。

m o oNI I I 4145cos 2==。

eN I 与oN I 又有附加光程π，在N 后看劈背出来eN I ，oN I 的相位差：（2k+1）π （k=0，1，2，3….） 暗纹2()o e dn n πδπλ=-+=主 （5分）2k π （k=0，1，2，3….） 明纹若是明纹：3610.5101()(1.5534 1.5443)9.620.5102e o dk n n ξλ--⨯=-+=-+=⨯（2分） 可看到10条条纹（2）在劈尖的最顶端A 处，其d=0mm 则：δπ= 为暗纹（2分） 则其光强0I =（1分）图 1→|a |← NMA六、空气折射率n约为1.0003。

用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。

设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n的数学表达式。

解：实验设计图 (3)七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为m的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。

旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。

求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。

解：（1）某时刻大，棒的角速度为ω，此时，棒切割磁力线获得电动势：21B L2εω=，棒中电流：2B LIR2Rεω==2分棒中（r-r+dr）所受安培力为：：dF IBdr=，dr所受的磁力矩：Md IBrdr=；合力矩：24200124L L B LM dM IBrdr IBLRω====⎰⎰2分2241)31(0)43dM J J mLdtB L d dmLR dt dtωωωω===-<由力学转动方程：（转动惯量022222203B 40B 4B 4.........................................2t L t Rmd L dtRmd L dtRmeωωωωωωωω-∴=-=-∴=⎰⎰分量变量：积分:分223B 400222........................2dt4.........................................23L t Rmd d dt dtd eRm B Lθθωθωθωωθ-∞=⇒==∴=⎰⎰（）分分八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为ax n A n πψcos=（n=1,2,3,……）。

求：(1) 归一化常数A ；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度()22x xx -=∆（x 为位移平均值，2x为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p ∆不小于多少？ 解：（1）由归一化条件：/22/21a n a dx ψ-=⎰1分得 /2/22222/2/221coscos 122a a a a n xn a a A xdx A dx A aππ--+==∙=⎰⎰ 2/A a ∴= 1分所以，归一化的波函数为：()2/cos1,2,3n n a x n aπψ==（2）零点能即基态能，这是1n =可由111ˆH E ψψ= 1分 即222211122(2/cos )22a x E m x a m aππψψ∂-==∂ 22212228h E m a ma π∴== 1分（3）第二激发态2n = 波函数为222/cosa x aπψ= 0.5分 2228a a dx ρψ∴=⎰ 1分 228231(2/cos)0.29684a a a x dx a ππ==-≈⎰ 0.5分 （4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0a a a a x x dx x a x dx aπψ--===⎰⎰1分22/2/22222212/2/22cos 122a a a a a a x x dx x xdx a a πψπ--===-⎰⎰ 1分222211()122x x x x a π∴∆=-==- 由不确定关系：2x p ∆∙∆≥2226(6)p a ππ∴∆≥- p ∆不小于2226(6)a ππ- 1分九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L ，内外半径为a 、b ，极化强度矢量p=k r/r 2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr 、相对磁导率为μr ，求：（1）圆筒内外的电场强度E 、电位移矢量D 分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H 、磁感应强度B 分布。

解：极化体电荷密度：'111()()0kD p r p r r r r r rρ∂∂=-∙=∙=∙=∂∂ 1分 极化面电荷：'a r ar ar akkp n p r raσ====∙=-∙=-=- 0.5分'b kbσ=0.5分 圆筒表面单位长度的极化电荷： ''212a a a k λπσπ=⨯⨯=- 1分''212b b b k λπσπ=⨯⨯= 0.5分由高斯定理求极化电荷产生附加场'E 分布：000()''()20()a r a k E a rb rr r b λπεε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 由于00E =，故0''E E E E =+=，故介质内外电场分布：00()'()0()r a kE E a r b r r b ε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 0.5分 由0D E P ε=+，求D 分布，介质外0E =，0P =，故：000()()0()0()r a k k D a r b r r r b εε⎧<⎪⎪=-+=<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面荷','a b λλ旋转形成电流密度：'222a a j k k ωωλπωππ=⋅=-⨯=- 1分 '222b b j k k ωωλπωππ=⋅=⨯= 1分 螺线管内部，H nI j ==，外部为0，磁场叠加：0,(),()0,()r a H k a r b r b ω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分由0B H μμ=，求得B 的分布：00,(),()0,()r r a B k a r b r b μμω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分十、质量为m 的质点A ，在一个光滑且足够大的水平桌面上运动，质点A 系一轻绳子，绳子穿过桌面上一光滑小孔O ， 另一端挂一质量也为m 的质点B 。