FFT 要求时域数据是均匀采样，频率是均匀分布于（-π，π）的。
一、
Sinc 插值原理：
设有函数)(x f ，采样定理表明，在满足以下两个条件时，就可以从)(x f 的等间隔离
式（1）可以理解为所有输入样本的加权叠加，根据此式就可以计算任意点处)(x f 函数值。
为精确计算某一点上的)(x f 需要覆盖无限多个点。
实际上这是无法做到的，而且使用大量的数据点会使得插值非常耗时，但精度提高却很小。
计算表明核值随着与x 的间隔增大而降低，这意味着可以在不过度损失精度的同时对卷积核进行截断。
在现有的计算资源下个8点的加权sinc 函数比较适合数据处理。
当使用截断后的sinc 函数对存在陡峭边缘的函数进行插值时，会出现一种称为Gibbs 效应的振铃现象。
为减少这种影响，应对插值进行加窗锐化，通常加入Kaiser 窗的处理效果比较理想。
对与加窗后的插值核，需要进行归一化处理，使其增益单位化，否则采样点上的权值和不再等于1，并且不同插值点之间会出现较大误差。
1、功率谱估计的提出：主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的问题提出的。
二、非均匀离散傅里叶变换（NUDFT ）
1、{n t }不均匀采样而{n f }均匀采样，即f m m f ∆=，则有n
f t m j n d
N n m e
t f w F ∆--=∑
=π21
)()(，
称为第一类非均匀DFT （nonuniform DFT ，NUDFT ）。
2、{n f }不均匀采样而{n t }均匀采样，即t n n t ∆=，则有∑-=∆∆-=1
2)()(N n nm j n
d m m
t e t f
w F π，称为第二类NUDFT 。
3、{n f }和{n t }都是均匀采样，即t n n t ∆=并且f m m f ∆=，则有
∑-=∆∆-=1
02)()(N n nm j n d m f
t e
t f w F π，称为均匀DFT 。
特别是，如果)/(1t f N ∆=∆，则有
∑-=-=10
/2)()(N n N nm j n d m e t f w F π，这就是传统意义上的DFT 。
为了方便，我们将两类NUFFT 表示为完全离散的符号形式：
∑-==
1
2M m n
v j m n m e
h H π
∑-==
2
/2
/2N N n n
v j n
m m e
g G π
其中n=-N/2，-N/2+1，…N/2-1，]2/1,2/1[-∈m v 表示非均匀采样位置。
三、NUFFT 算法
1、第一类NUDFT 可由NUFFT 算法加速的流程
1）、由公式NUFFT 算法采用最小均方误差的解)()()(1
c b A A A c x H
H
-=计算插值系数)(m r c x ，这里r=-q/2，-q/2+1，…q/2，m=0，1，…M-1。
需要))1((2
M q O +个乘数。
2）、计算Fourier 系数∑+-∈=
rml
uc q q r m
r m l m c x h
]][2/,2/[)(τ。
需要))1((M q O +个乘法数。
3）、使用FFT 计算∑=-==
2
/2
//2uN l uN l uN
nl j l
n e
T πτ。
需要))log((uN uN O 个乘法数。
4）、 n n T s H .1
-∧
=。
需要)(N O 个乘法。
2、第二类NUDFT 可由NUFFT 算法加速的流程
1)、由公式由公式NUFFT 算法采用最小军方误差的解)()()(1c b A A A c x H
H -=计算插值系数)(m r c x ，这里r=-q/2，-q/2+1，…q/2，m=0，1，…M-1。
需要))1((2
M q O +个乘数。
2）、计算n n n g s t .1
-=。
需要)(N O 个乘法数。
3）、使用FFT 计算∑=-==
2
/2
//2uN l uN l uN
nl j l
n e
T πτ。
需要))log((uN uN O 个乘法数。
4）、计算∑-∈+∧
=
]
2/,2/[][)(q q r r uc m
r
m T c
x G ，需要))1((M q O +个乘法数。
可以看出，NUFFT-1和NUFFT-2算法十分相似，并且具有相同的计算复杂度。
他们的区别在于：NUFFT-1处理非均匀间隔的输入数据，所以为了使用FFT 技术，需要首先将输入数据插值到均匀间隔上，如NUFFT-1流程第2步所示，NUFFT-2处理均匀间隔输入非均匀间隔输出变换，所以可以首先使用FFT 得到在变换空间的均匀采样数据，然后将他们插值到期望的输出采样间隔上，该插值过程在NUFFT-2中的最后一步完成。
四、NUFFT 的优点：NUFFT是一种时频非均匀采样的变换的快速算法，把数据直
接进行NUFFT变换，而不像传统方法需要先对数据进行插值才能用来成像，因此可以减少差值带来的误差以及所需花费的额外操作。