(i=0·1.·…n). • 类似于二次插值多项式基函数的寻找方法一方面.
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• lo (xi)=0 (i≠0)知lo (x)含有因式(x- x1)(x- x2)...(x-xn).另一方面.lo (x) 次数不超过n次故lo (x)=a (x- x1) (x- x2)·...(x- xn).由lo (xo)=1知
(5.1.4)的性质
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 5. 1. 4拉格朗日型n次插值多项式 • 已知函数y=f(x)在n十1个不同的点xo.x1.…xn上的函数值分别为 • f (xo)= yo·f.(x1)=y1··…f (xn) =yn • 求一个次数不超过n的多项式P(x).使其满足插值条件:Pn(xi)=yi
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 式(5. 1. 3)称为拉格朗日(Lagrange)型插值多项式.其中插值基函数 l(x).
• l1(x)与函数值y和y，无关.是节点xo .x1确定关于变量二的函数·且满 足性质
•
lo (xo)=1 .lo (x1)=0; l1 (xo)=0. l1(x1)=1 (5. 1.4)
•
P2(xo)=yo .P2(x,)= y1 .P2 (x2)= y2
• 几何意义为:已知平面上的3个点(xo ,yo).(x1 ,y1), (x2 ,y2).求一个二 次抛物线.使得该抛物线经过这3点.
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 为将P2(x)表示为二次插值多项式.则 • P2(x)= lo (x) yo 十l1 (x) y1十l2 (x) y2 (5. 1 .7) • 需要找到3个拉格朗日基函数lo (x),l1 (x) ,l2 (x) 要求满足类似于式
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 5.1.5拉格朗日插值多项式的截断误差 • 在区间[a,b]上用多项式Pn (x)来近似代替函数f (x).记截断误差为 • Rn (x) =f(x)- Pn(x) • 则当x在插值结点x上时.R(xi)=f (xi)- Pn (xi)=y1- yi= 0. • 一般地.拉格朗日插值多项式的截断误差估计有如下定理: • 定理5. 2设函数y= f (x)的n阶导数在[a,b]上连续n十1阶导数在(a,b)
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 且次数不超过n的多项式.称式(5.1. 5)满足式(5.1.6)的n次多项式Pn(x) 为n次拉格朗日(Lagrange)插值多项式.L(x) (i= 0,1,...,n)称为插值基 函数.
• 5 .1 .3二次抛物插值(二次插值)
• 已知函数y=.f(x)在点xo .x1.x2处的函数值为f (xo)=yo, f(x1)=y1. f(x2) =y2.求一个次数不超过二次的多项式P2(x).使其满足
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 证只要证明多项式P(x)= ao十a1x十…十an x^n的系数: ao,a1,…,an 存在唯一即可由插值条件P (xi) =yi (i=0,1 ,... ,n).可得
• 式(5.1.1)表示线性方程组系数行列式为
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• R(x)=f(x) -P(x) • 其中.P(x)为f(x)的插值函数·xo·x1，··xn称为插值节点·包含插值节点
的区间[a,b]称为插值区间.求插值函数P(x)的方法称为插值法.插值函 数不意图如图5. 1所示· • 若P(x)是次数不超过n的代数多项式.就称P(x)为插值多项式.相应的 插值法称为多项式插值.若P(x)是分段多项式.称为分段插值.若P (x)是 三角多项式.就称为三角插值.下面将对多项式插值进行讨论.三角插值 法参阅文献[6] - [8]. • 定理5. 1若插值节点xo·x1，··xn是插n十1个互异的点.则满足插值条 件P(x)=yi (i=0,1,...,n)的n次插值多项式P(x)= ao十a1x十…十an x^n 存在且唯一.
• 即 .从而.由式(5. 1. 3)知一次插值函数P,(x)表示插值基函数的线性 组合,一般地.将一个n次多项式P (x)表示为
• Pn (x)=lo (x) yo 十l1(x) y1十…十ln (x) yn (5.1.5) • 其中.yi =f(xi) (i=0,1,...,n).已知li(x)是满足条件
第5章数据插值与拟合方法
• 5.1拉格朗日(Lagrange)插值法 • 5.2分段线性插值 • 5.3三次样条函数 • 5.4最小二乘法
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5.1拉格朗日(Lagrange)插值法
• 5.1.1插值多项式的存在唯一性 • 在实际问题中.设函数y=.f(x)在某个区间[a,b]上存在.通过实验或测
量得到函数在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn处的函数值 f(x1)=yi(i=0.1 .. n).或者函数f(x)表达式虽是已知的·但很复杂而不便 于计算.我们希望用一个既能反映函数f(x)的特性.又便于计算的简单函 数来做近似计算.这样便产生了插值函数方法.简称插值法. • 已知函数在n+1个点x0.x1.…xn上的函数值f(x1)=yi(i=0,1,...,n), • 求一个简单函数y=P(x).使其满足条件 • P(xi)= yi( i=0,1,...,n) • 即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的n+ 1个点:(x0, y0), (x1, y1)…(xn, yn)·同时在其他.xΕ [a,b]上要估计1)有唯一解.即:ao, a1,…,an存在唯一 • 5.1.2线性插值(一次插值) • 已知函数y=f (x)在区间[xo, x1]端点上的函数值:f(xo) =yo,
f(x1)=y1.求一次多项式y=P,(x)使得P,(xo)=yo ,P1(x1)= y1.其几何意 义是已知平面上两点(xo, yo), (x1, y1).求过这两点的直线y=P,(x). • 由直线的点斜式公式可知