作辅助函数 (x) f (x)(f )(b) f (a) x
ba
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且
(a) b f (a) a f (b) (b),由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向b 思a维找出一即个定满理足结罗论尔成定立理条. 件证的毕函数
在 x0 , x1 之间至少存在一点
但
矛盾, 故假设不成立
二、拉格朗日中值定理 y
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
则至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
分析：问题转化为证f ( )f (bb) af (a) 0 b a
y f (x) B
D
2 b
x
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值定理 , 得
0
由 的任意性知,
在 I 上为常数 .
推论: 若函数
在区间 I 内导数恒相等，
则在 I 内有
推论: 若函数
的导数在区间 I 内不变号，
则 在 I 内严格单调.
例2
例3. 证明等式 证: 设
g(b) g(a)
则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且
(a) f (b)g(a) f (a)g(b) (b)
g(b) g(a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
f (b) f (a) f ( ) . g(b) g(a) g( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b)
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
几何意义:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
线平行于弦 AB.
o a 1
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
说明: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
练习:
且 x0 I , 使 f arctan x arccot
(xx0 )
C0. ,x
(
,
)
2
例4. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
定义：设函数f ( x)在U x0 , 内有定义, 若x U x0 , 有f ( x) f ( x0 )，则称x0为函数f ( x)的
极大值点，f ( x0 )称为函数f ( x)的一个极大值;
若x U x0 , 有f ( x0 ) f ( x)，则称x0为函数f ( x)的
极小值点，f ( x0 )称为函数f ( x)的一个极小值.
第四章
微分中值定理
与导数的应用
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第四章
第一节 微分中值定理（一）
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
1、函数的极值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点.
注意：极值是函数的局部性质
2、费马引理
y
则 0,使得当x U x0, U x0 时有 f (x) f (x0)
o x0 x
满足方程 f ( x) 0的点x称为 f ( x)的驻点.
显然可导函数的极值点必是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
2 b x
1) 若三个条件同时成立则结论一定成立；
但若不满足其中任一个条件，结论不一定成立
（即可能成立也可能不成立）.
例如
y
1 o 1 x
2) 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论. 错!
两个 不
一定相同Βιβλιοθήκη 柯西定理的几何意义:弦的斜率 切线斜率
例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1),使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以 x0 , x1为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
y
几何意义:
C
在曲线弧AB上至少有一
y f (x)
点C , 在该点处的切线是
水平的.
注意:
o a 1
分析: g(b) g(a) g()(b a) 0 a b
要证
f (b) f (a) g( ) f ( ) 0
g(b) g(a)
( )
(x) f (b) f (a) g(x) f (x)
g(b) g(a)
证: 作辅助函数
(x)
f (b)
f (a) g(x)
f (x)
例如, y x3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
3、罗尔( Rolle )定理
y
y f (x)
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导
o a
bx
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b )
则在( a , b ) 内至少存在一点 使f ( ) 0.