三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1λ-矩阵()λA可逆的充分必要条件是行列式()λA是非零常数引理2 λ-矩阵()λA=()()nmij⨯λa的左上角元素()λ11a不为0，并且()λA中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA等价的()()()nmij⨯=λλbB使得()0b11≠λ且()λ11b的次数小于()λ11a的次数。

引理3任何非零的λ-矩阵()λA=()()nmij⨯λa等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡........d21λλλrdd()()()λλλr21d,....d,d是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d1-=+ridiiλλ引理4 等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλBAm与矩阵的-⨯n等价当且仅当存在一个m阶的可逆λ-矩阵()λP和一个n阶的λ-矩阵()λQ使得()()()()λλλλQAP=B推论9 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。

行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。

矩阵的若当标准型 定理1两个n ⨯m 阶数字矩阵A 和B 相似，当且仅当它们的特征矩阵B -E A -E λλ与等价N 阶数字矩阵的特征矩阵A -E λ的秩一定是n 因此它的不变因子有n 个，且乘积是A 的特征多项式 推论3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。

定理4每个n 阶复矩阵A 都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的。

求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据JX X X X X X A PJ AP J AP P 321321-1），，（），，（，即得到===得到P （X1X2X3）方阵矩阵的最小多项式 定理1 矩阵A 的最小多项式整除A 的任何零化多项式，且最小多项式唯一。

N 阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根。

定理2矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值，反之，矩阵Ａ的特征值一定是最小多项式的根。

求最小多项式：根据数字矩阵写出特征多项式()A E f -=λλ，根据特征多项式得到最小多项式的形式，然后根据()()0E -A E -A E -A r 21=⋯⋯λλλ）（确定最小多项式。

矩阵的若干分解分解QR设Ａ为ｎ阶复矩阵，则存在酉矩阵Ｑ和上三角阵Ｒ使得Ａ＝ＱＲ方法：根据数字矩阵()321A ααα=列出321ααα，正交化单位化后，得到321εεε，即()321Q εεε=根据A Q R QR A 1-==得得R 。

奇异值分解设Ａ是n ⨯m 阶复矩阵，0d d d d r 321≥⋯⋯≥≥是Ａ的所有的非零奇异值，则存在ｍ阶酉矩阵Ｐ、ｎ阶酉矩阵Ｑ，使得[]0D 0H AQ P =其中，[]r d ...D 1d =是对角阵，等式[]H00D 0Q P A =是Ａ的奇异值分解对于一个n ⨯m 阶复矩阵Ａ来说，ｎ阶方阵A A H 是半正定的，及特征值是全部大于或者等于０，这些特征值的平方根便是Ａ的奇异值。

求Ａ的奇异值分解：根据数字矩阵Ａ得到A A B H=，根据特征矩阵得到特征值，n 1r r 21λλλλλ⋯⋯⋯⋯+，并计算出每个特征值对应的特征向量，()[]）（构造和然后根据）（正交化后，，2121H21-1102112r 2111r 21n 1r r 21n1r r 21P P P P 1P 0P P D AQ P D Q ...)..,(...,..,======⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++++λλεεεεεεεεεεαααααλλλλλQ Q Q Q n r n r 则[]HD 0QPA =第二章 内积空间实内积空间（欧氏空间）()()()()()Tn n n n y y y A x x x y y y ......x x x 2121n 1211n 2211=⋯+++⋯++=εεεεεεαβA 为过渡矩阵（对称且正定）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=））（）（（））（）（（））（）（（331313322212312111A εεεεεεεεεεεεεεεεεε N 维欧氏空间V 中两组不同基的度量矩阵是合同的。

正交基及正交补①由欧氏空间V 的任意一组基n ααα...21都可以构造出V 的一组标准正交基。

②两两正交的单位向量的行列向量均是A A A EA A 是正交阵A T1-T ⇔=⇔=⇔③设V1V2是欧氏空间V 的两个正交基子空间，则V1+V2是直和，两个子空间互为正交补满秩分解设()0C A m >=∈⨯r A R n且则存在列满秩矩阵r m C C ⨯∈和行满秩矩阵n r C D ⨯∈使得Ａ＝ＣＤ求Ａ的满秩分解：根据数字矩阵Ａ写出分块矩阵（Ａ Ｅ）进行初等行变换得（Ｂ Ｐ）其中Ｂ＝[]D 0，根据求得的P 求出1-P然后对）（⋯⋯=211-P αα进行列分块，得到Ｃ＝r 1αα⋯⋯。

则Ａ＝ＣＤ正交变换），（），（βαβα=A A 正交变换的等价条件()()矩阵是正交阵在任一标准正交基下的也是标准正交基，是标准正交基则，，若保持向量长度不变（是正交变换T )4(T ...T T ...)3(T )2(1)T 2121⇔⇔⇔n n εεεεεε证明：对称变换()()βαβαA A ，，=复内积空间（酉空间） 酉空间两组标准正交基的过渡矩阵一定是酉矩阵E AA A A H H ==酉空间V 的线性变换Ｔ满足()()βαβα，，=A酉空间内变换的等价条件()()矩阵是酉矩阵在任一标准正交基下的也是标准正交基，是标准正交基则，，若保持向量长度不变（是酉变换T )4(T ...T T ...)3(T )2(1)T 2121⇔⇔⇔n n εεεεεε酉对称变换（Hermite 变换）：()()βαβαA ,A =，()A A AA E A A AA E A A AA -A A Hermite A A Hermite -A A AA H H HH T T HH T T =⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫========正规矩阵酉矩阵：正交矩阵：矩阵反矩阵：反对称矩阵：实对称矩阵：定理：若A 是n 阶方阵（1）若A 是复矩阵，则A 是正规阵，当且仅当A 酉相似于对角阵。

即∧=AP P P H使得存在酉矩阵证明：1.必要性：设存在酉矩阵P 使得∧=AP P H则H P P A ∧=（2）若A 是实矩阵，且A 的特征值全是实数，则A 是正规阵，当且仅当Ａ正交相似于对角阵，即∧=AP P P T 使得存在正交矩阵H H P A P ∧=，A A P P P AA H H H H =∧∧=））（（P 即为正规阵 2.充分性：若A 是正规阵，则满足H H AA A A =则。

推论：任一Hermite 矩阵A 酉相似于对角阵，∧=AP P P H 使得存在酉矩阵任一实对称矩阵A 酉相似于对角阵，∧=AP P P T 使得存在酉矩阵推论：设A 是n 阶正规阵 （1）Ａ是Hermite 矩阵，当且仅当A 的特征值全是实数（2）Ａ是反Hermite 矩阵，当且仅当A 的特征值全是0或者纯虚数（3）A 是酉矩阵，当且仅当A 的每个特征值的模长是1 。

证明：定理：设Ａ是n 阶Hermite 矩阵（实对称矩阵）则EAC C P B B A P A A H H =⇔=⇔⇔使存在实可逆矩阵使存在可逆矩阵的特征值全是正数是正定的证明：一线性空间与线性变换数域及多项式 数域：关于加减乘除全部封闭，如有理数集Ｑ，实数集Ｒ，复数集Ｃ 线性空间 零元唯一，负元唯一基变换与坐标变换由基''2'121......n n εεεεεε到的过渡矩阵Ａ是可逆的。

线性子空间（关于加法和数乘封闭） 平凡子空间：零子空间和线性空间本身{}一般不是但的子空间是的和与）（的子空间是的交与）（的两个子空间是212121212121V V V V V V V 2V V V V V 1V V V ⋃+=+⋂βα维数公式：()()212121V V dim dim V dim V V V dim ⋂-+=+线性空间的等价条件21212121V dim dimV V V (dim }0{V V V V +=+⇔=⋂⇔⇔+）零向量的分解唯一是直和。