F (n)
=ac﹣b2．并规定 M（n）=
是 n 的“人和数”，例如：215 可以重新排列为 125，152，
G(n)
215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且 2＜5＜7，所以 125 是 215 的 “天时数”F（125）=22﹣1×5=﹣1，152 是 215 的“地利数”，G（152）=1×2﹣52=﹣23，
初中数学因式分解的应用培优练习题（附答案详解） 1．248﹣1 能被 60 到 70 之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61 和 63
B．63 和 65
C．65 和 67
D．64 和 67
2．已知 248 1 可以被在 0～10 之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．1、3
B．3、5
C．6、8
8．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)； ② 某商品单价为 a 元．甲商店连续降价两次，每次都降 10%．乙商店直接降 20%．顾 客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的；
③若 x2 y2 2x 4 y 5 0 ，则 y x 的值为 1 ； 2
④关于 x 分式方程 2x a 1的解为正数，则 a ＞1． x 1
买了______件年货. 6．已知 a1•a2•a3•…•a2007 是彼此互不相等的负数，且 M=（a1+a2+…+a2006） （a2+a3+…+a2007）， N=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2006），那么 M 与 N 的大小关系是 M N．
7．已知 a 2 ＋b 2 -6ab=0（a＞b），则 a b = ba
16．求满足
的所有素数 p 和正整数 m.
等式左边进行因式分解，从而得到
x
4
y
5
5
，于是有方程组
x
y
4 5
1 5
或
x 4 1
y
5
5Байду номын сангаас
或
x y
4 5
5 1
.舍去非正整数解后得到
x y
5 10
或
x
y
9 6
.下面请同学们
尝试解决下列问题：
（1）求方程或 xy 2x 2y 6 的所有正整数解
（2）求方程 4xy 5x 6y 15 的所有正整数解. 12．阅读理解应用:要想比较 a 和 b 的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若 a b u ，则 a b ;若 a b 0 ，则 a b ;若 a b 0，则 a b . (1)比较 2a2 与 a2 1的大小，并说明理由.
13．计算下列各题：（1） 20123 2 20122 2010 ；（2） 20123 20122 2013
25 247 269 2811 2)2010 2013 2 1 4 236 258 2710 2)2009 2012 2 .
14．设 a ，b ，c ，d 都是正整数，并且 a5 b4 ，c3 d 2 ，c a 19 ，求 d b 的值．
10．如果多项式 3mx2 6m 1 x 3m 1在实数范围内可分解为关于 x 的两个一次式
的乘积，求实数 m 的取值范围． 11．分组分解是因式分解中很重要的方法，它不仅仅可以用在因式分解中，还能用在方 程整数解的求解中。比如求方程 xy 4y 5x 20 5 的所有正整数解时，我们可以对
请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______
9．如图 1,在平面直角坐标系中, AO AB, BAO 90, BO 8cm ,动点 D 从原点 O 出发沿 x 轴正方向以 acm / s 的速度运动,动点 E 也同时从原点 O 出发在 y 轴上以
bcm / s 的速度运动,且 a, b 满足关系式 a2 b2 4a 2b 5 0 ,连接 OD,OE ,设运动
的时间为 t 秒.
(1)求 a, b 的值; (2)当 t 为何值时， BAD≌ OAE; (3)如图 2,在第一象限存在点 P ,使 AOP 30, APO 15 ,求 ABP .
D．7、9
3．已知 a，b，c 是△ ABC 的三边长，且满足 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是
() A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．若 a-b=1，则 a2 b2 2b 的值为____________． 5．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满 1400 减 99 元”促销活动，小明
15．将一个三位正整数 n 各数位上的数字重新排列（含 n 本身）后，得到新的三位数 abc
（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c﹣2b|最小时，我们称 abc 是 n 的“天时数”，
并规定 F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称 abc 是 n 的“地利数”，并规定 G（n）
准备提前购置一些年货 A 和 B ，已知 A 和 B 的单价总和是 100 到 200 之间的整数，小
明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为 1305 元，不能达到超市的促销活动金额. 于
是小明又购买了 A 、 B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款 1305 元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把 A 和 B 的单价看反了，那么小明实际总共
(2)比较 a2 b2 与 2ab 的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求 a2
1 a2
3 的最小值.
(4)已知如图，直线 a b 于 O ，在 a, b 上各有两点 B, D 和 A,C , AO 4, BO 9,CO x2, DO y2 ，且 xy 3 ，求四边形 ABCD 面积的最小值.
M（215）= 1 1 ． 23 23
（1）计算：F（168），G（168）； （2）设三位自然数 s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且 x，y 均为正整数），交换其个位 上的数字与百位上的数字得到 t，若 s﹣t=693，那么我们称 s 为“厚积薄发数”；请求出 所有“厚积薄发数”中 M（s）的最大值．