导数经典例题1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,4几种常见函数的导数5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）0(3)()lim 2h f a h f a h h→+--； （2）20()()lim h f a h f a h →+-例3．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。

例4． 求下列函数单调区间 （1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）22ln y x x =-例5．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x例6．求满足条件的a（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3为R 上增函数 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）） 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.例8．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。

例9．（2001年天津卷）设0>a ，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。

（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数例10．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。

（I ）解不等式1)(≤x f ；（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数。

练习题1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于 （ ）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．0'()f x -D ．)(0x f -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ）A ．32 B ．23C ．3D ．2 3．曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 （ ）A ．（-1，2）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（-1，2）或（1，-2）4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－166．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么tst ∆∆→∆0lim 为（ ）A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 （ ）A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f9．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ） （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim000； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000；（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim000（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。

A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）10．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.11．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是_____________。

12．设xx x f 1)(-=，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。

13．设3)('0-=x f ，则=---→hh x f h x f h )3()(lim000_____________。

14．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________． 15．已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________。

16．y=x 2e x 的单调递增区间是17．曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为____________。

18．P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。

19．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_____________。

20．曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在A 点处的切线方程。

21．在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为4π。

22．判断函数⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(x x x x x f 在x=0处是否可导。

23．求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程。

24．求曲线y=xcosx 在2π=x 处的切线方程。

25．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f ′(1)。

26．求曲线22)3(1x x y +=在点)161,1(处的切线方程。

27．求证方程1lg =⋅x x 在区间)3,2(内有且仅有一个实根28．（1）求函数x y =在x=1处的导数；（2）求函数b ax x y ++=2（a 、b 为常数）的导数。

例1⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2（1）h h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim2)()3(lim 00--+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim 2)()3(lim 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim 0220=⋅=⋅-+=→→a f h h a f h a f h h例3（1）222222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ， 0422|'1=-==x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x xy 在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫⎝⎛-= t tt t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 2726111227291|'3=++-==t S 。

例4（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x )32,(--∞∈x ),1(∞+ 时0>'y)1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓ （2）221x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑（3）221xk y -=∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ),0()0,(k k x -∈ 0<'y ∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）xx x x y 14142-=-=' 定义域为),0(∞+)21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x 0>'y例5（1）)2()1ln()(2x x x x f --+= 0)0(=f 011111)(2>+-=+-+='x x x x x f ∴ )(x f y =为),0(∞+上↑ ∴ ),0(∞+∈x 0)(>x f 恒成立∴ 2)1ln(2x x x ->+ )1ln()1(2)(2x x x x x g +-+-= 0)0(=g 0)1(4211)1(42441)(22222>+=+-+-+-='x x x x x x x x g ∴ )(x g 在),0(∞+上↑ ∴ ),0(∞+∈x 0)1ln()1(22>+-+-x x x x 恒成立 （2）原式π2sin >⇔x x 令 x x x f /sin )(= )2,0(π∈x 0cos >x 0tan <-x x∴ 2)tan (cos )(xx x x x f -=' ∴ )2,0(π∈x 0)(<'x f )2,0(π↓ ππ2)2(=f ∴ πx x 2sin >例6（1）a x y +='cos ∴ 1>a1=a 时 x x y +=sin 也成立 ∴ ),1[∞+∈a（2）a x y +='23 0>a 0=a 时 3x y =也成立 ∴ ),0[∞+∈a（3）),31[∞+∈a例7)0(121)(>+-='x ax xx f . 当0,0>>x a时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x .即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增.（ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，1）内单调递增，又知函数)(x f 在x=1处连续，因此， 函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x .解得a a x a a x-+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a内也单调递增. 令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即，解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减. 例8 （1）由方程组⎩⎨⎧+=-=,2,42x y x y解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由y ′=2x ，则4|'2-=-=x y ，6|'3==x y 。