经典例题导讲[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.[例2]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？错解：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f xx x 。

分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .解：1)11(21]1)1[(21lim lim 2200=∆+-+∆+=∆∆--→∆→∆xx x y x x∴ f(x)在x=1处不可导.注：+→∆0x ，指x ∆逐渐减小趋近于0；-→∆0x ，指x ∆逐渐增大趋近于0。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，△x →0，包括△x →0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。

错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ， 故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数xx y 1+=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数xx y 1+=的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1）111,12<-='∴+=xy x x y ，即对函数x x y 1+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xx y 1+=图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令0112=-x，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ， ∴曲线xx y 1+=的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。

点评： 在已知曲线 )(x f y =切线斜率为k 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =的导数值为k 时的解，即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入)(x f y =就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知0>a ，函数a x x f -=3)(，[)+∞∈,0x ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为 l .（1）求l 的方程；（2）设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证： ① 312a x ≥；②若311a x >，则1231x x a <<分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .解：（1）xa x a x x x y x f x x ∆+--∆+=∆∆=→∆→∆3300/)(lim lim )( xx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 22203])(33[lim x x x x x x =∆+∆+=→∆2113)(x x f ='∴∴切线l 的方程为))(()(111x x x f x f y -'=-即)(3)(12131x x x a x y -=--.（2）①依题意，切线方程中令y=0得，②由①知2131123x a x x x --=，2131123x a x x x --=-∴[例6]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.分析：可设 ),(2x x P 为抛物线上任意一点，则可把点P 到直线的距离表示为自变量x 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02=--y x 的距离即为本题所求.解：根据题意可知，与直线 x －y －2=0平行的抛物线y=x 2的切线对应的切点到直线x －y －2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么12|2|0'00=====x x y x x x x ,∴210=x ∴ 切点坐标为)41,21(，切点到直线x －y －2=0的距离8272|24121|=--=d ， ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为827.[例7]已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲线S 的切线方程.错解：4222++-='x x y ，∴过点P 的切线斜率40='==x y k ，∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=. 错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P 凑巧在曲线S 上，求过点P 的切线方程，却并非说切点就是点P ，上述解法对求过点P 的切线方程和求曲线在点P 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ，则过点P 的曲线S 的切线斜率[例8]已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数，0)(<'∴x f 在R 上恒成立，01632<-+∴x ax 正解:+='23)(ax x f 6x 0≤∆∴且0<a ，即01236≤+a 且0<a ，[例9]当 0>x 证明：x x f -+=)1ln()()(x f ∴在()+∞,0内是增函数，()(f x f >∴0)<，)(x g ∴在()+∞,0内是减函数，)(x g <∴x x <+<)1ln(成立.点评：从而导出)0()(f x f >及[例10]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为53a 元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得y '=53a -+4002+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一驻点,所以1x =15是函数y 的极小值点,而且也是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.[例11]函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ，其中)('x f 是)(x f 的导函数.（1）对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g（2）设a ＝－2m y ＝3只有一个公共点. 解：（1）由题意()g x 令()(3x ϕ=-对11a -≤≤∴((ϕϕ⎧⎪⎨-⎪⎩故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（2）()'2233f x x m =-①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时，列表：∴()()2211f x f x m m ==--<-极小又∵()f x 的值域是R ，且在(),m +∞上单调递增∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.当x m <时，恒有()()f x f m ≤- 由题意得()3f m -< 即3221213m m m -=-<解得()()332,00,2m ∈-综上，m 的取值范围是()332,2-.[例12]若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比） 分析：如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与2r 成反比， 即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最 大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。