导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ）A.033=+-y xB.022=+-y xC.012=+-y xD.013=+-y x（2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ）A.),(e eB.)2ln 2,2(C.)0,1(D.),0(e【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ）A.13+=x yB.12+=x yC.13-=x yD.12-=x y（2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ）A.1B.2C.21D.21- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间；(2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ）A.)0,(-∞B.),0(+∞C.)1,3(-D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像.（1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 331)(23++-=知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数1331)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值例2.（1）已知函数x x x f ln )(=，则下列关于)(x f 说法正确的是（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，有无极小值（2）已知函数bx ax x f +=3)(在1=x 处有极值2-，则b a ,的值分别为（）A.1,3-B.1,3C.1-,3D.1-,3-（3）函数2)()(m x x x f -=在1=x 处取得极小值，则m 的值为（ ）A.1B.3C.31或D.0知识点四、导数与函数的最值例1.（1）求函数1331)(23+--=x x x x f 在]4,2[-的最大值和最小值（2）求32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值和最小值（3）求函数x x x f ln 2)(2-=的最小值【思考】（1）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像的特征有哪些？（2）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(在定义域R 是严格单调还是不单调由什么决定？（3）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像与x 轴的交点个数（或函数的零点个数）由什么决定？（4）函数有没有极值对其单调性有怎样的影响？（5）函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系？【注意】（1）在区间),(b a 内)0)((0)(<'>'x f x f 是函数)(x f 在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件.（2）函数在),(b a 上是增函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≥'x f 恒成立（3）函数在),(b a 上是减函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≤'x f 恒成立（4）0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的必要不充分条件（即导数值为0的点0x 不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于0） 知识点五、有关参数的取值范围问题例1.（1）已知函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞ （2）若()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A.()1,2-B.()3,2-C.()(),12,-∞-+∞UD.()(),36,-∞-+∞U(3)若函数32()4f x x ax =-+在)2,0(内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]3,0B.(]1,0C.[)+∞,3D.),0(+∞(4)若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞例2.（1）函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的范围是（ ）A ．()+∞,2B ．()+∞,1C ．()2,-∞-D ．()1,-∞-（2）函数ax x y +=ln 有两个零点，则a 的取值范围（ ）A ．()e ,1B ．()+∞-,1C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1eD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【经典训练题】1、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12 C ．12- D ．1- 2、曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为( ) A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=3、已知曲线x x y ln 342-=在点）（)(,00x f x 处的切线与直线012=-+y x 垂直，则0x 的值为( ) A.34、直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．1 5、 函数x x y +=3的递增区间是（ ）A.），（∞+0B. ）（1,∞-C. ）（+∞∞-,D.）（∞+1 6、函数x x y ln =的单调递减区间是( )A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e 7、0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是 （ ）A. 极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-2，极大值2D. 极小值-1，极大值39、函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）10、32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.2-11、函数x e x x f )3()(-=在]4,0[上的最大值和最小值为（ ）A.3,2-eB.3,4-eC.24,e e -D.2,3e --12、已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =13、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为( )14、设)(x f y '=是函数()y f x =的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则 xy O 1 2 x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2()y f x =的图象最有可能的是( )(A) (B) (C) （D ）16、已知函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.），（∞+0 B. ]3,∞-（ C. ）（+∞∞-, D.）∞+1[ 17、 已知函数x ax x x f 1)(2++=在),21(+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A.]0,1[- B. ]3,0[ C. ）+∞,3[ D.）∞+1[18、函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A.]2,1[B. )23,23(- C. ）23,1[ D.）∞+1[ 19、已知函数x x x f 3)(3-=在)6,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围（ ）A.]1,2[--B. ]1,5(-C. )1,5(-D.）1,2(-20、函数a x x x x f +++-=93)(23与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围（ ）A.)27,(--∞B. ),5(+∞C. ),5()27,(+∞--∞YD.）5,27(-导数经典解答题典例1.已知函数1331)(23+--=x x x x f ，求函数)(x f 在区间]6,2[-上的最大值和最小值.【思考】在下列区间上的最大值和最小值（1）在区间]4,2[-（2）在区间]2,2[-（3）在区间]2,0[（4）在区间]5,4[【注意】题型1、求函数)(x f 的单调区间（或讨论单调性） 典例2.（1）已知函数ax x x x f ++=2331)(，讨论()f x 的单调性； （2）已知函数1)(--=ax e x f x ，求)(x f 的单调增区间；（3）已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论()f x 的单调性；题型二、利用导数求函数的极值和最大（小）值 典例3.已知函数1)1(32)(23+--=x a x x f ，其中1≥a（1）求)(x f 的单调区间（2）讨论)(x f 的极值典例4.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值.典例5.已知函数ax x x f -=ln )(.（1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点），（)1(1f 处的切线方程；（2）若0<a ，且函数)(x f 在区间],1[e 上的最大值为2，求a 的值.典例6.已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明：对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.题型三、利用导数求参数的取值范围典例7.已知()322f x x bx cx =+++（1）若()f x 在1x =时有极值1-，求,b c 的值；（2）若函数()y f x =的图象与函数y k =的图象恰有三个交点，求实数k 的取值范围典例8.设函数2()2ln f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()22f x x x a +---在[1,3]内恰有两个零点，求实数a 的取值范围.典例9.已知函数c bx ax x x f +++=3)(在32-=x 与1=x 处都取得极值. （1）求实数b a ,的值；（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.典例10.已知函数123)(23+-=x ax x f ，其中0>a .（1）若1=a ，求曲线)(x f y =在点），（)2(2f 处的切线方程； （2）若在区间]21,21[-上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围.典例11.设函数x x xe e x x f -+=221)(.（1）求)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f >)(恒成立，求实数m 的取值范围.典例12.已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.典例13.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．典例14.已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.典例15.已知函数()ln f x x =,()(0)a g x a x=>,设()()()F x f x g x =+． （1）求函数()F x 的单调区间；（2）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值。