x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D

o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
f
( x,
二 . 判定 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 是否极值点, 极大还是极小? 1. 按定义 .
2. 定理 2
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 驻点 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
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例 4. 设二元函数 z x2 y (4 x y) ,
闭区域 D由直线 x y 6 , X 轴和 Y 轴所围成 ,
求函数 z 在 D 上的最大值与最小值 .
y
解 . 先求函数在 D内的驻点
x y6
由
z x z y
2xy(4 x y) x2 y 0 x2(4 x y) x2 y 0
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0,A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
B
C
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例2.讨论函数
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
z z
在点 (0,0) 有极大值; x
y)
x2 y2 , ( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
点 (0, 0) 是极值点但不是驻点
求二元函数 z f ( x , y ) 极值的方法 :
( 与一元函数相类似)
一. 找出可能的极值点: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
1. 偏导数不存在的点 , 2. 驻点
多元函数极值与最值
回顾:
1. 连续函数的极值
定义 . 当 x U ( x0 ) 时 , 均有 f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值 ,(极小值 ) x0 是极值点 .
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2
x
y
2 x
2 y
令
Ax
2(
y
)2
x2
0
得驻点 ( 3
2,3
2)
Ay
2( x
)2
y2
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时, 水箱所用材料最省.
得 D内唯一驻点P 的坐标
x 2
y
1
在 X 轴与Y 轴上 , z 0
D
o
x
z(P) z( 2,1) 4
在直线 x y 6 上 , y 6 x z x2 y(4 x y)
z x2 y (4 x y) x2(6 x) (2) 2 ( x3 6x2 )
d z 2(3x2 12x ) 6x ( x 4) 令 0 dx
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
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例3.某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
及
是否取得极值.
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0
当 x2 y2 0 时, z ( x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
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